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来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 02:53:17
已知函数f(x)=ex-ln(x+m) (Ι)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）当m≤2时证明f(x)>0
f‘(x)在负一到正无穷上是增函数 是咋得来的?
f‘(x)在负一到正无穷上是增函数 是咋得来的?
∵f′(x)＝ex−
1
x+m
,x=0是f（x）的极值点,∴f′(0)＝1−
1
m
＝0,解得m=1．
所以函数f（x）=ex-ln（x+1）,其定义域为（-1,+∞）．
∵f′(x)＝ex−
1
x+1
＝
ex(x+1)−1
x+1
．
设g（x）=ex（x+1）-1,则g′（x）=ex（x+1）+ex＞0,所以g（x）在（-1,+∞）上为增函数,
又∵g（0）=0,所以当x＞0时,g（x）＞0,即f′（x）＞0；当-1＜x＜0时,g（x）＜0,f′（x）＜0．
所以f（x）在（-1,0）上为减函数；在（0,+∞）上为增函数；
（Ⅱ）证明：当m≤2,x∈（-m,+∞）时,ln（x+m）≤ln（x+2）,故只需证明当m=2时f（x）＞0．
当m=2时,函数f′(x)＝ex−
1
x+2
在（-2,+∞）上为增函数,且f′（-1）＜0,f′（0）＞0．
故f′（x）=0在（-2,+∞）上有唯一实数根x0,且x0∈（-1,0）．
当x∈（-2,x0）时,f′（x）＜0,当x∈（x0,+∞）时,f′（x）＞0,
从而当x=x0时,f（x）取得最小值．
由f′（x0）=0,得ex0＝
1
x0+2
,ln（x0+2）=-x0．
故f（x）≥f(x0)＝
1
x0+2
+x0=
(x0+1)2
x0+2
＞0．
综上,当m≤2时,f（x）＞0．
1
x+m
,x=0是f（x）的极值点,∴f′(0)＝1−
1
m
＝0,解得m=1．
所以函数f（x）=ex-ln（x+1）,其定义域为（-1,+∞）．
∵f′(x)＝ex−
1
x+1
＝
ex(x+1)−1
x+1
．
设g（x）=ex（x+1）-1,则g′（x）=ex（x+1）+ex＞0,所以g（x）在（-1,+∞）上为增函数,
又∵g（0）=0,所以当x＞0时,g（x）＞0,即f′（x）＞0；当-1＜x＜0时,g（x）＜0,f′（x）＜0．
所以f（x）在（-1,0）上为减函数；在（0,+∞）上为增函数；
（Ⅱ）证明：当m≤2,x∈（-m,+∞）时,ln（x+m）≤ln（x+2）,故只需证明当m=2时f（x）＞0．
当m=2时,函数f′(x)＝ex−
1
x+2
在（-2,+∞）上为增函数,且f′（-1）＜0,f′（0）＞0．
故f′（x）=0在（-2,+∞）上有唯一实数根x0,且x0∈（-1,0）．
当x∈（-2,x0）时,f′（x）＜0,当x∈（x0,+∞）时,f′（x）＞0,
从而当x=x0时,f（x）取得最小值．
由f′（x0）=0,得ex0＝
1
x0+2
,ln（x0+2）=-x0．
故f（x）≥f(x0)＝
1
x0+2
+x0=
(x0+1)2
x0+2
＞0．
综上,当m≤2时,f（x）＞0．
已知函数f(x)=ex-ln(x+m) (Ι)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）当m≤2
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