如图,四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB与△PAD都是等边三角形.

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 11:04:02

如图,四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB与△PAD都是等边三角形.
（I）证明：PB⊥CD；
（II）求二面角A-PD-C的大小．

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（I）取BC的中点E,连接DE,可得四边形ABED是正方形
过点P作PO⊥平面ABCD,垂足为O,连接OA、OB、OD、OE
∵△PAB与△PAD都是等边三角形,
∴PA=PB=PD,可得OA=OB=OD
因此,O是正方形ABED的对角线的交点,可得OE⊥OB
∵PO⊥平面ABCD,得直线OB是直线PB在内的射影,∴OE⊥PB
∵△BCD中,E、O分别为BC、BD的中点,
∴OE∥CD,可得PB⊥CD；
（II）由（I）知CD⊥PO,CD⊥PB
∵PO、PB是平面PBD内的相交直线,∴CD⊥平面PBD
∵PD⊂平面PBD,∴CD⊥PD
取PD的中点F,PC的中点G,连接FG,
则FG为△PCD有中位线,∴FG∥CD,可得FG⊥PD
连接AF,由△PAD是等边三角形可得AF⊥PD,
∴∠AFG为二面角A-PD-C的平面角
连接AG、EG,则EG∥PB
∵PB⊥OE,∴EG⊥OE,
设AB=2,则AE=2AE=2根号2,EG=
12
PB=1,故AG=
AE2+EG2
=3
2
,EG=
12
PB=1,故AG=
AE2+EG2
=3
在△AFG中,FG=
12
CD=2
,AF=3
,AG=3
∴cos∠AFG=2+3-92×2×3
=-63
,得∠AFG=π-arccos63
,
即二面角A-PD-C的平面角大小是π-arccos63

如图,四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB与△PAD都是等边三角形. 如图,四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形．四棱锥p-abcd中,∠abc=∠bad=90°,bc=2ad△pab与△pad都是等边三角形.（1）证明pb⊥cd.（如图,四棱锥P-ABCD中,平面PAB⊥平面PBC,∠PBC=∠BAD=90°,求证:BC‖平面PAD 在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是梯形,AD//BC,∠ABC=90,平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面A 四棱锥P-ABCD中,角ABC=角BAD=90度,BC=2AD三角形PAB和三角形PAD都是正三角形1,证明：PB垂直于如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=90°，侧面PAD⊥底面ABCD，∠PAD 如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD是等边三角形,AD=2,BD=2根号2 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AD//BC,AB=AD=BC/2,∠ABC=60度,平面PAB⊥平面ABCD （2013•南通二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠PBC=90°，∠PB 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=90°,侧面PAD⊥底面ABCD,∠PAD=90 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AD//BC，AB=AD=1/2BC，角ABC=60°，平面PAB垂直平面AB