直线与圆练习题已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0,问是否存在斜率为1的直线m,使m被圆C截得弦

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 15:36:15

直线与圆练习题
已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0,问是否存在斜率为1的直线m,使m被圆C截得弦AB,以AB为直径的圆过原点,若存在,写出直线C的方程,若不存在,说明理由

圆C：x²+y²-2x+4y-4=(x-1)^2+(y+2)^2=9
则圆心C的坐标为：C(1,-2),r=3.
设直线L：y=x+b交圆C于A、B,AB为直径的圆过原点,那么直线L的垂线y=-x与L的交点就是所求圆的圆心D.
则D就是AB的中点,在圆D中：OD=DA=DB=R.
把直线L代入圆C得：2x²+(2b+2)x+4b-4=0.
则x1*x2=2b-2
D点的横坐标
x=x1+x2=-b-1
y=y1+y2=(x1+b)+(x2+b)=x1+x2+2b=b-1.
AB^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
=(x1+x2)²-4x1*x2+(y1+y2)^2-4y1*y2
=(b+1)^2-8b-8+(b-1)^2-4[x1*x2+b(x1+x2)+b²]
=b^2+2b+1-8b-8+b^2-2b+1-4b+8=2b^2-12b+10.
OD²=(b+1)^2+(b-1)^2=2b^2+2
∵AB=2OD
∴AB^2=4OD^2
即2b^2-12b+10=8b^2+8
解的：b=(-3±2√3)/3.
所以L的方程为y=x-1-(2√3)/3或y=x+(2√3)/3-1.