已知函数f(x)=lnx-14x+34x-1,g(x)=x2-2bx+4,若对任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2]
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/27 16:16:36
已知函数f(x)=lnx-
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4 |
∵函数f(x)=lnx-
1
4x+
3
4x-1,(x>0)
∴f′(x)=
1
x-
1
4+
-3
4x2=
4x-x2-3
4x2=-
(x-1)(x-3)
4x2,
若f′(x)>0,1<x<3,f(x)为增函数;若f′(x)<0,x>3或0<x<1,f(x)为减函数;
f(x)在x∈(0,2)上有极值,
f(x)在x=1处取极小值也是最小值f(x)min=f(1)=-
1
4+
3
4-1=-
1
2;
∵g(x)=x2-2bx+4=(x-b)2+4-b2,对称轴x=b,x∈[1,2],
当b<1时,g(x)在x=1处取最小值g(x)min=g(1)=1-2b=4=5-2b;
当1<b<2时,g(x)在x=b处取最小值g(x)min=g(b)=4-b2;
当b>2时,g(x)在[1,2]上是减函数,g(x)min=g(2)=4-4b+4=8-4b;
∵对任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),
∴只要f(x)的最小值大于等于g(x)的最小值即可,
当b<1时,-
1
2≥5-2b,解得b≥
11
4,故b无解;当b>2时,-
1
2≥8-4b,解得b≥
17
8,
综上:b≥
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8,
故选C;
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4x+
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4x-1,(x>0)
∴f′(x)=
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x-
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4+
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4x2=
4x-x2-3
4x2=-
(x-1)(x-3)
4x2,
若f′(x)>0,1<x<3,f(x)为增函数;若f′(x)<0,x>3或0<x<1,f(x)为减函数;
f(x)在x∈(0,2)上有极值,
f(x)在x=1处取极小值也是最小值f(x)min=f(1)=-
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4+
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4-1=-
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2;
∵g(x)=x2-2bx+4=(x-b)2+4-b2,对称轴x=b,x∈[1,2],
当b<1时,g(x)在x=1处取最小值g(x)min=g(1)=1-2b=4=5-2b;
当1<b<2时,g(x)在x=b处取最小值g(x)min=g(b)=4-b2;
当b>2时,g(x)在[1,2]上是减函数,g(x)min=g(2)=4-4b+4=8-4b;
∵对任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),
∴只要f(x)的最小值大于等于g(x)的最小值即可,
当b<1时,-
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2≥5-2b,解得b≥
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4,故b无解;当b>2时,-
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2≥8-4b,解得b≥
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综上:b≥
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故选C;
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