作业帮已知函数f（x）=lnx−ax
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 02:07:51
已知函数f（x）=lnx−
| a |
| x |
∵f（x）=lnx−
a
x
∴函数的定义域为（0，+∞）
且f'（x）=
1
x+
a
x2=
x+a
x2
①当a≥0时，f'（x）≥0恒成立，
∴函数f（x）的单调增区间为（0，+∞）
②当a＜0时，令f'（x）≥0，则x＞-a
∴函数f（x）的单调增区间为（-a，+∞）
（II）由（I）可知，f'（x）=
x+a
x2
①若a≥-1，则x+a≥0，则f'（x）≥0恒成立，
函数f（x）在[1，e]上为增函数
∴f（x）的最小值为：f（1）=-a=
3
2，此时a=-
3
2（舍去）
②若a≤-e，则f'（x）≤0恒成立，
函数f（x）在[1，e]上为减函数
∴f（x）的最小值为：f（e）=1-
a
e=
3
2，此时a=-
e
2（舍去）
③若-e＜a＜-1，当1＜x＜-a时，则f'（x）＜0，
当-a＜x＜e时，f'（x）＞0，
∴f（x）的最小值为：f（-a）=ln（-a）+1=
3
2，此时a=-
e
综上所述：a=-
e
a
x
∴函数的定义域为（0，+∞）
且f'（x）=
1
x+
a
x2=
x+a
x2
①当a≥0时，f'（x）≥0恒成立，
∴函数f（x）的单调增区间为（0，+∞）
②当a＜0时，令f'（x）≥0，则x＞-a
∴函数f（x）的单调增区间为（-a，+∞）
（II）由（I）可知，f'（x）=
x+a
x2
①若a≥-1，则x+a≥0，则f'（x）≥0恒成立，
函数f（x）在[1，e]上为增函数
∴f（x）的最小值为：f（1）=-a=
3
2，此时a=-
3
2（舍去）
②若a≤-e，则f'（x）≤0恒成立，
函数f（x）在[1，e]上为减函数
∴f（x）的最小值为：f（e）=1-
a
e=
3
2，此时a=-
e
2（舍去）
③若-e＜a＜-1，当1＜x＜-a时，则f'（x）＜0，
当-a＜x＜e时，f'（x）＞0，
∴f（x）的最小值为：f（-a）=ln（-a）+1=
3
2，此时a=-
e
综上所述：a=-
e