大学线性代数求助!已知b1b2为非齐次线性方程组AX=B两个不同的解,A1A2为其导出组AX=0的一个基础解系,c1c2

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/23 00:57:13

大学线性代数求助!
已知b1b2为非齐次线性方程组AX=B两个不同的解,A1A2为其导出组AX=0的一个基础解系,c1c2为任意常数,在AX=B的通解可以表示为
1/2(B1+B2)+C1A1+C2(A1+A2)
这是为何?

首先,因为b1,b2为非齐次线性方程组AX=B两个解,即有 Abi=B,i=1,2
所以 A[1/2(b1+b2)]=(1/2)(Ab1+Ab2)=(1/2)(2B) = B.
所以 1/2(b1+b2) 也是AX=B 的解.
[ 一般情况:k1b1+k2b2 也是 AX=B 的解 k1+k2 = 1.
此处,k1=k2= 1/2]
其次,因为 A1,A2 为导出组AX=0的一个基础解系
所以 A1,A1+A2 是AX=0的解
而 A2 = -A1+(A1+A2)
所以 A1,A2 与 A1,A1+A2 等价.
所以 r(A1,A1+A2) = r(A1,A2) = 2.
所以 A1,A1+A2 线性无关.
所以 A1,A1+A2 也是AX=0的一个基础解系
所以AX=B的通解可以表示为 1/2(B1+B2) + C1A1 + C2(A1+A2)
有疑问请追问或消息我
再问：而 A2 = -A1+(A1+A2) 所以 A1,A2 与 A1, A1+A2 等价. 这一句话不明白为何A2 = -A1+(A1+A2)所以 A1,A2 与 A1, A1+A2 等价呢？求解答，一定追分，其他的都看懂了
再答：一方面显然有 A1, A1+A2 可由 A1, A2 线性表示. 另一方面, A2 = -A1+(A1+A2), A1 = A1+ 0(A1+A2) 所以 A1, A2 可由 A1, A1+A2 线性表示. 所以两个向量组等价.