一道简洁的数学证明题,自己想的

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/22 12:44:15

一道简洁的数学证明题,自己想的
求证：N^5-N=30K,(N,K∈Z）
最好不用讨论分几种情况~
下面是不用讨论的方法：
发现 Y=(N-1)N(N+1)(N+2)(N+3)能被30整除，将其变形为(N-1)N(N+1)(N²+5N+6)=(N-1)N(N+1)(N²+1+5N+5)=(N-1)N(N+1)(N²+1)+(N-1)N(N+1)(5N+5)=N^5-N+5(N-1)N(N+1)²
因为5(N-1)N(N+1)²一定能被30整除，又Y=(N-1)N(N+1)(N+2)(N+3)=N^5-N+5(N-1)N(N+1)²能被30整除，所以
N^5-N=30K,(N,K∈Z)得证。

思路就是证明做边的式子可以被2,3,5整除
左边=n(n+1)(n-1)(n^2+1)
n(n+1)(n-1)很容易得到可以被2 3整除
设n=5x+a
a=0 n=5x
a=1 n-1=5x
a=4 n+1=5x+5
这三种情况,很明显n(n+1)(n-1)可以被5整除
a=2 n=5x+2
n^2+1=(5x+2)^2+1=25x^2+20x+5=5(5x^2+4x+1) 可被5整除
a=3 n=5x+3
n^2+1=(5x+3)^2+1=25x^2+30x+10=5(5x^2+6x+2) 可被5整除
综上
n(n+1)(n-1)(n^2+1)
必然可被2,3,5整除,即被30整除
原式成立

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