在数列an中,已知a1=2,an+1=2an/an +1,令bn=an(an -1).求证bn的前n项和

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 17:35:06

在数列an中,已知a1=2,an+1=2an/an +1,令bn=an(an -1).求证bn的前n项和<3（an=2的n次方除以2的n次方 -1

证：
a(n+1)=2an/(an+1)
1/a(n+1)=(an+1)/(2an)=(1/2)(1/an)+1/2
1/a(n+1) -1=(1/2)(1/an) -1/2=(1/2)(1/an -1)
[1/a(n+1) -1]/(1/an -1)=1/2,为定值.
1/a1 -1=1/2 -1=-1/2,数列{1/an -1}是以-1/2为首项,1/2为公比的等比数列.
1/an -1=(-1/2)(1/2)^(n-1)=-1/2ⁿ
1/an=1 -1/2ⁿ=(2ⁿ-1)/2ⁿ
an=2ⁿ/(2ⁿ-1)
b1=a1(a1-1)=2×(2-1)=2
bn=an(an-1)=[2ⁿ/(2ⁿ-1)][2ⁿ/(2ⁿ-1) -1]=2ⁿ/(2ⁿ-1)²
b(n+1)/bn={2^(n+1)/ [2^(n+1) -1]²}/[2ⁿ/(2ⁿ-1)²]
=2×{(2ⁿ-1)/[2^(n+1) -1]}²
=2×{(1/2)[2^(n+1)-2]/[2^(n+1)-1]}²
=(1/2)×{1- 1/[2^(n+1) -1]}² /这一步是把括号里的1/2拿到括号外,括号里化简

在数列an中,已知a1=2,an+1=2an/an +1,令bn=an(an -1).求证bn的前n项和已知数列{an}的前n项和Sn=-an-(1/2)^(n-1)+2(n为正整数).令bn=2^n*an,求证数列{bn} 已知在数列an中,a1=1/2,an+1=3an/an+3,已知bn的前n项和为sn 已知数列an中,a1=2,an+1=4an-3n+1,bn=an-n,求证数列bn为等比数列,求an前n项和已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，令bn=an+1-an．已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=(an+an+1)/2,n∈N*.令bn=an+1-an,证明{bn} 在数列an中a1=2,a（n+1）下标=4an-3n+1 1设bn=an-n求证bn是等比数列 2求数列an的前n项和s 已知数列{an}满足:a1+a2+a3+…+an=n-an 求证{an-1}为等比数列令bn=(2-n)(an-1)求已知数列{an}中,a1=2,an+1=4an-2/3an-1 bn=3an-2/an-1 求证；数列{bn}是等比数列已知数列an满足;a1=1,an+1-an=1,数列bn的前n项和为sn,且sn+bn=2 数列{an},a1=1,an=2-2Sn,求an,若bn=n*an,求{bn}的前n项和Tn 已知数列{an},an=2n+1,数列{bn},bn=1/2^n.求数列{an/bn}的前n项和