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（2014•黄冈模拟）已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C2：y2a2+y2b2＝1，(a＞b＞0)

来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 14:05:02
（2014•黄冈模拟）已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C2：
y2
a2
+
y2
b2
＝1，(a＞b＞0)的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x2+y2=1上．
（Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；
（Ⅱ）过点F的直线交抛物线C1于A、B两不同点，交y轴于点N，已知
NA
＝λ1
AF
， 
NB
 ＝λ2
BF
，求证：λ1+λ2为定值．
（Ⅲ）直线l交椭圆C2于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P′、Q′，
OP
•
OQ
+
OP′
•
OQ′
 +1＝0，若点S满足：
OS
＝ 
OP
 +
OQ
，证明：点S在椭圆C2上．
（Ⅰ）由C1：y2=2px（p＞0）焦点F（
p
2，0）在圆O：x2+y2=1上得：
p2
4＝1，∴p=2
∴抛物线C1：y2=4x…（2分）
同理由椭圆C2：
x2
a2+
y2
b2＝1，(a＞b＞0)的上、下焦点（0，c），（0，-c）及左、右顶点（-b，0），（b，0）均在圆O：x2+y2=1上可解得：b=c=1，a=
2
∴椭圆C2：x2+
y2
2＝1
（Ⅱ）证明：设直线AB的方程为y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），则N（0，-k）
直线与抛物线联立，消元可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0
∴x1+x2=
2k2+4
k2，x1x2=1
∵

NA＝λ1

AF， 

NB ＝λ2

BF
∴λ1（1-x1）=x1，λ2（1-x2）=x2
∴λ1＝
x1
1−x1，λ2＝
x2
1−x2
∴λ1+λ2=
(x1+x2)−2x1x2
1−(x1+x2)+x1x2＝−1为定值；
（Ⅲ）证明：设P（x3，y3），Q（x4，y4），则P′（x3，0），Q′（x4，0），
∵

OS＝ 

OP +

OQ，∴S（x3+x4，y3+y4）
∵

OP•

OQ+

OP′•

OQ′ +1＝0
∴2x3x4+y3y4=-1①
∵P，Q在椭圆上，∴
x23+

y23
2＝1②，
x24+

y24
2＝1③
由①+②+③得（x3+x4）2+
(y3+y4)2
2=1
∴点S在椭圆C2上
（2014•黄冈模拟）已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C2：y2a2+y2b2＝1，(a＞b＞0) （2014•南昌模拟）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F与椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的一个焦点重合， （2014•龙岩模拟）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F为双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点 已知双曲线C1：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线C2：y2=2px（p＞0） 已知抛物线y2=2px（p＞0）与椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且 （2014•湛江一模）已知顶点为原点O的抛物线C1的焦点F与椭圆C2：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点重合， 已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）抛物线C2：y2=2px，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中： 设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点 已知点A是双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的交点，F是抛物线的焦点， （2014•安徽模拟）已知椭圆x2p2+y23=1的左焦点在抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线上，F为抛物线的焦点． 如图，已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点，且两条曲线交 已知抛物线y2=2px（p＞0）焦点F恰好是双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点，且双曲线过点（3a2