作业帮刘老师,怎么证明三不同直线交于一点的充要条件是a+b+c=0?
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/02 04:55:35
刘老师,怎么证明三不同直线交于一点的充要条件是a+b+c=0?
已知L1:ax+2by+3c=0
L2:bx+2cy+3a=0
L3：cx+2ay+3b=0
已知L1:ax+2by+3c=0
L2:bx+2cy+3a=0
L3：cx+2ay+3b=0
三不同直线交于一点的充要条件是方程组有唯一解.
(=>)必要性
由已知中, 方程组
ax+2by=-3c
bx+2cy=-3a
cx+2ay=-3b
有唯一解.
所以 r(A)=r(A,b)=2
所以增广矩阵的行列式等于0.
|A,b|=
a 2b -3c
b 2c -3a
c 2a -3b
2,3行分别提出2,-3, c1+c2-c3,第1列提出公因子
= -6(a+b+c)
1 b c
1 c a
1 a b
= -6(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
= -6(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]
= 0.
因为 (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≠0 (否则三条直线相同)
所以 a+b+c=0.
(
(=>)必要性
由已知中, 方程组
ax+2by=-3c
bx+2cy=-3a
cx+2ay=-3b
有唯一解.
所以 r(A)=r(A,b)=2
所以增广矩阵的行列式等于0.
|A,b|=
a 2b -3c
b 2c -3a
c 2a -3b
2,3行分别提出2,-3, c1+c2-c3,第1列提出公因子
= -6(a+b+c)
1 b c
1 c a
1 a b
= -6(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
= -6(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]
= 0.
因为 (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≠0 (否则三条直线相同)
所以 a+b+c=0.
(
刘老师,怎么证明三不同直线交于一点的充要条件是a+b+c=0?
证明三条直线交于一点的充分必要条件是a+b+c=0
线性代数问题：证明三条不同直线ax+by+c=0,bx+cy+a=0,cx+ay+b=0相较于一点的充分必要条件是a+b
设L1：ax+by+c=0,L2：cx+ay+b=0,L3：bx+cy+a=0是三条完全不同的直线,若三直线交于一点,证
怎么证明A是B的充要条件
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直线a,b,c交于一点,经过这3条直线的平面有几个
直线a、b、c交于一点,经过这三条直线的平面有_________