作业帮用三重积分 求由曲面Z=X2+2Y2及Z=6-2X2-Y2所围成的立体的体积.
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 02:44:13
用三重积分 求由曲面Z=X2+2Y2及Z=6-2X2-Y2所围成的立体的体积.
Ω由z = x² + 2y² 及 2x² + y² = 6 - z围成.
消掉z得投影域D：
x² + 2y² = 6 - 2x² - y²
==> x² + y² ≤ 2
体积 = ∫∫∫Ω dV
= ∫(- √2→√2) dx ∫(- √(2 - x²)→√(2 - x²)) dy ∫(x² + 2y²→6 - 2x² - y²) dz
= 4∫(0→√2) dx ∫(0→√(2 - x²)) [(6 - 2x² - y²) - (x² + 2y²)] dy
= 12∫(0→√2) dx ∫(0→√(2 - x²)) (2 - x² - y²) dy
= 12∫(0→π/2) dθ ∫(0→√2) (2 - r²)r dr
= 12 * π/2 * ∫(0→√2) (2r - r³) dr
= 6π * (r² - r⁴/4)：0→√2
= 6π * (2 - 4/4)
= 6π
再问： ∫(x² + 2y²→6 - 2x² - y²) dz这里是怎么来的？不懂。。为什么要相减？
再答： 6 - 2x² - y²在上面 x² + 2y²在下面 所以(6 - 2x² - y²) - (x² + 2y²) z的范围由x² + 2y²变到6 - 2x² - y²
消掉z得投影域D：
x² + 2y² = 6 - 2x² - y²
==> x² + y² ≤ 2
体积 = ∫∫∫Ω dV
= ∫(- √2→√2) dx ∫(- √(2 - x²)→√(2 - x²)) dy ∫(x² + 2y²→6 - 2x² - y²) dz
= 4∫(0→√2) dx ∫(0→√(2 - x²)) [(6 - 2x² - y²) - (x² + 2y²)] dy
= 12∫(0→√2) dx ∫(0→√(2 - x²)) (2 - x² - y²) dy
= 12∫(0→π/2) dθ ∫(0→√2) (2 - r²)r dr
= 12 * π/2 * ∫(0→√2) (2r - r³) dr
= 6π * (r² - r⁴/4)：0→√2
= 6π * (2 - 4/4)
= 6π
再问： ∫(x² + 2y²→6 - 2x² - y²) dz这里是怎么来的？不懂。。为什么要相减？
再答： 6 - 2x² - y²在上面 x² + 2y²在下面 所以(6 - 2x² - y²) - (x² + 2y²) z的范围由x² + 2y²变到6 - 2x² - y²
用三重积分 求由曲面Z=X2+2Y2及Z=6-2X2-Y2所围成的立体的体积.
（二重积分）求由曲面Z=X2+2Y2及Z=6-2X2-Y2所围成的立体的体积.
重积分：由曲面z=根号下（x2+y2）及z=x2+y2所围成的立体体积
设Ω是由曲面z=2-x2-y2及z=x2+y2所围成的有界闭区域，求Ω的体积．
求由圆柱面x2+y2=2ax,旋转抛物面az=x2+y2及z=0所围成的立体的体积
设∑为由曲面z=√x2+y2及平面z=1所围成的立体的表面,则曲面积分∫∫ˇ∑(x2+y2)dS=?
求由曲面z=x^2+y^2,z=4-y^2所围立体的体积,用三重积分
用二重积分或三重积分计算曲面z=√x^2+y^2及z=x^2+y^2所围成的立体体积.
计算下列曲面所围成立体的体积 z=x2+2y2 和 z=6-2x2-y2
利用三重积分计算由曲面z= √(x^2+y^2),z=x^2+y^2所围成的立体体积
利用三重积分计算由下列各曲面所围立体的体积.球面x^2+y^2+z^2=2（z>=0),平面z=
利用三重积分计算曲面z=6-x2-y2与z=x