高等数学变上限积分问题

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 05:05:54

高等数学变上限积分问题
此题目为：设函数f(x)可导,且f(0)=0,F（x)=（请大家自己写一下,打不出来）从0到X的定积分,积分式为t的n-1次幂乘以f（X的n次幂-t的n次幂）dt.
要求证明：lim(x→0）F（X）/x的2n次幂=（1/2n）*f‘（0）
证明中设u=x的n次幂-t的n次幂,然后将F（X）化为（1/n）*0到X的n次幂的定积分,积分式为f(u)du.
我的问题是,现在弄不懂在变量代换后怎么F（X）的积分上限变为了X的n次幂了,原来不是X吗?
请各位高手解答

其实这是你没弄清这个变量与积分值无关
举个简单例子来说
f(x)=x^n(n是自然数)与f(t)=t^n,这两个函数其实相等的,这去变量无关
我们再回到你的题上来看
积分与一般函数的不同在于用不同的变量表示,积分限也要跟着变
那么u=x的n次幂-t的n次幂,我们知道现在的变量变为u,他没写中间过程就直接把u又变成x了,下面我来看积分限的变换过程
u=x的n次幂-t的n次幂,因为原式是对t求积分,所以变量是t
那么就是说原式是积分限0-x（此处x可看成常量）,接着我们看当t=0时
u=x的n次幂
当t=x,u=0
所以积分限就变为x的n次幂--0
如还有不明白就发信息给我

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