用区间套定理证明连虚函数有界性定理:若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有界
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/21 00:41:19
用区间套定理证明连虚函数有界性定理:若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有界
假如f(x)在[a,b]上无界,设[a,b]=[a1,b1],对分之,两个闭区间中至少有一个使f(x)无界,令其为
[a2,b2].再对分之,得到[a3,b3].等等.得到一个闭区间套
[a1,b1]>(借用,意为包含)[a2,b2]>…….|[an,bn]|=(b-a)/2^n→0.
f(x)在每个[an,bn]上无界.
从区间套定理,存在ξ∈每个[an,bn].当然ξ∈[a,b].,设f(ξ)=c.∵f(x)在[a,b]上连续,存在δ>0
使得x∈(ξ-δ,ξ+δ)时,f(x)∈(c-1,c+1),
注意|(ξ-δ,ξ+δ)|=2δ.·取大n0.使(b-a)/2^n0<δ.则[an0,bn0]<(包含于)(ξ-δ,ξ+δ)
∴x∈[an0,bn0]时,f(x)∈(c-1,c+1),这与“f(x)在每个[an,bn]上无界”矛盾.
∴f(x)在[a,b]上有界.[证明中设ξ不是a,b.请楼主稍作补充,完成这次证明.]
[a2,b2].再对分之,得到[a3,b3].等等.得到一个闭区间套
[a1,b1]>(借用,意为包含)[a2,b2]>…….|[an,bn]|=(b-a)/2^n→0.
f(x)在每个[an,bn]上无界.
从区间套定理,存在ξ∈每个[an,bn].当然ξ∈[a,b].,设f(ξ)=c.∵f(x)在[a,b]上连续,存在δ>0
使得x∈(ξ-δ,ξ+δ)时,f(x)∈(c-1,c+1),
注意|(ξ-δ,ξ+δ)|=2δ.·取大n0.使(b-a)/2^n0<δ.则[an0,bn0]<(包含于)(ξ-δ,ξ+δ)
∴x∈[an0,bn0]时,f(x)∈(c-1,c+1),这与“f(x)在每个[an,bn]上无界”矛盾.
∴f(x)在[a,b]上有界.[证明中设ξ不是a,b.请楼主稍作补充,完成这次证明.]
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