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已知函数f(x)=ax²+bx+c的图像过原点,对于任意x∈R,恒有f(1-x)=f(1+x)成立,且方程f(

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/27 18:52:32
已知函数f(x)=ax²+bx+c的图像过原点,对于任意x∈R,恒有f(1-x)=f(1+x)成立,且方程f(x)=x有两个相等的实根 . 求f(x)的解析式.
∵f(x)过原点
∴f(0)=0
c=0
∵f(1-x)=f(1+x)
∴a(1-x)²+b(1-x)+c=a(1+x)²+b(1+x)+c
4ax+2bx=0
(4a+2b)x=0
∴4a+2b=0
b=-2a
f(x)=ax²-2ax
∵f(x)=x有两个相等实根
∴ax²-2ax=x有两个相等实根
ax²-(2a+1)x=0
a≠0,且△=(-(2a+1))²-0=0
2a+1=0
a=-1/2
∴b=1
∴f(x)=(-1/2)x²+x