定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：对于任意x，y∈R+，都有f（xy）=f（x）+f（y）成立．若对于x＞1时，恒

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/28 11:24:23

定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：对于任意x，y∈R⁺，都有f（xy）=f（x）+f（y）成立．若对于x＞1时，恒有f（x）＞0．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并证明；
（Ⅲ）设a为正常数，解关于x的不等式f（x²+a）≤f[（a+1）x]．

（I）将x=1、y=1代入f（xy）=f（x）+f（y），得
f（1×1）=f（1）+f（1），化简得f（1）=0；
（II）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
证明：设x₁、x₂为（0，+∞）上的任意两个数，且x₁＜x₂，
则
x2
x1＞1，由x＞1时f（x）＞0得f(
x2
x1)＞0．
∴f(x2)＝f(x1•
x2
x1)＝f(x1)+f(
x2
x1)＞f(x1)，即f（x₁）＜f（x₂）．
由此可得函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
（III）由（II）可得：原不等式等价于

x2+a＞0
(a+1)x＞0
x2+a≤(a+1)x，
∵a＞0且（a+1）x＞0，∴不等式等价于x²+a≤（a+1）x，即（x-a）（x-1）≤0．
∴①当a=1时，原不等式解集为{1}；②当0＜a＜1时，原不等式解集为[a，1]；
③当a＞1时，原不等式解集为[1，a]．

定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：对于任意x，y∈R+，都有f（xy）=f（x）+f（y）成立．若对于x＞1时，恒定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数xy都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立.且当x大于0时 f（x）小于0 定义域为R的函数f(x)满足:对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x>0时,f（x）定义域R的的函数f(x)满足：对于任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y）成立,且当X＞0时f(x) 设函数y=f（x）定义域为R,当x>0时f(x)>1,且对于任意的x,y∈R有f（x+y）=f（x）·f（y）成立已知函数f（x）对于任意的x,y∈R都满足f(x+y)=f(x)+f(y),且当x＞0时f(x)＞0恒成立证明f(x) 函数y=f(x)的定义域为R,对任意x,y∈R,都有f（x+y）=f(x)+f(y),f(xy)=f(x)f(y)恒成立已知定义域为R+,值域为R的函数f（x）,对于任意x,y属于R+总有f（xy）=f(x)+f(y),当x>1,恒有f（x 设函数f（x）的定义域为（0,正无穷）,且对于任意正实数x,y都有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立,已知f 已知f（x）是定义在（0,+∞）上的函数,对于任意的正数x,y都有f（xy）=f（x）+f（y）成立,且当x＞1时f（x 定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-2011且当x＞0时，有f（x 函数f（x）的定义域为R,对于任意x∈R,有f（x）＞0,对任意x,y∈R,有f（xy）等于 [f（x）]的y次幂,