设抛物线C:y^2=2px(p>0)上有两动点A、B(AB不垂直于x轴）

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 08:32:00

设抛物线C:y^2=2px(p>0)上有两动点A、B(AB不垂直于x轴）
且|AF|+|BF|=8,又线段AB的垂直平分线恒过定点Q（6.0）
（2）求三角形AQB的面积最大值

抛物线焦点F(p/2,0),渐近线方程为x=p/2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有
8=|AF|+|BF|=x1-(-p/2)+x2-(-p/2)=x1+x2+p
线段AB的垂直平分线恒过定点Q（6.0）,则必有AQ=BQ,于是有
(x1-6)^2+y1^2=(x2-6)^2+y2^2
也即
(x1-6)^2+2px1=(x2-6)^2+2px2
移向化简得
(x1+x2-12+2p)(x1-x2)=0
因AB不垂直于x轴,故x1≠x2,故x1+x2-12+2p=0.结合x1+x2+p=8,得p=4
于是抛物线方程为y^2=8x.
过点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线方程为
(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1),也即
(y2-y1)x-(x2-x1)y-x1y2+x2y1=0
于是点Q(6,0)到直线AB的距离为
d=|6(y2-y1)-x1y2+x2y1|/√[(y2-y1)^2+(x2-x1)^2]
则S△AQB=1/2*|6(y2-y1)-x1y2+x2y1|/√[(y2-y1)^2+(x2-x1)^2]*√[(y2-y1)^2+(x2-x1)^2]
=1/2*|6(y2-y1)-x1y2+x2y1|=1/2*|6(y2-y1)-1/8*y1^2*y2+1/8*y2^2*y1|
=1/2*|6(y2-y1)+1/8*y1y2*(y2-y1)|=1/2*|(y2-y1)(6+1/8*y1y2)|
而x1+x2=8-p=8-4=4=1/8*y1^2+1/8*y2^2,故y1^2+y2^2=32
于是S△AQB)=1/2*|(y2-y1)(6+1/8*y1y2)|=1/2*√(y1^2+y2^2-2y1y2)*|6+1/8*y1y2|
由于y1^2+y2^2=32,故|y1y2|≤(y1^2+y2^2)/2=16,故|1/8*y1y2|≤2,故4≤6+1/8*y1y2≤8,故
S△AQB)=1/2*√(y1^2+y2^2-2y1y2)*|6+1/8*y1y2|=1/2*√(32-2y1y2)*(6+1/8*y1y2)
=1/16*√(32-2y1y2)*(48+y1y2)=1/16*√(32-2y1y2)*√(48+y1y2)*√(48+y1y2)
≤1/16*{[√(32-2y1y2+48+y1y2+48+y1y2)/3]}^3=64√6/9
即三角形AQB的面积最大值为64√6/9

设抛物线C:y^2=2px(p>0)上有两动点A、B(AB不垂直于x轴）设抛物线C:y^2=2px(p>0)上有两动点A、B(AB不垂直于x轴设抛物线y^2=2px的焦点是F,A,B是抛物线上互异的两点,直线AB与X轴不垂直,线段AB的垂直平分线交X轴于点D 直线l过抛物线y²=2px(p≠0)的焦点但不垂直于x轴,且于抛物线相交于A(x1,y1)和B(x2,y2)两设直线l与抛物线y的平方=2px(p>0)交于A.B两点,已知当直线l经过抛物线的焦点且与x轴垂直时,三角形OAB的面设抛物线C:y^2=2px(p>0),直线l经过抛物线的焦点F与抛物线交于A,B两点,O是坐标原点. 已知A为抛物线y^2=2px（p>0）上的一个定点,BC是垂直于x轴的一条弦,直线AB交抛物线的对称轴于点D,直线AC交已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A与B是抛物线上两个动点,（AB与x轴不垂直）,线段AB的垂直平分线恒过定点设A,B为抛物线y^2=2px(p>0)上的两点,满足OA垂直OB(O为原点),证明直线AB经过定点设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直设抛物线 y2=2px （p＞0）的焦点为F 经过点F的直线交抛物线于A,B两点点C在抛物线的准线上且BC‖x轴设抛物线的方程y^2=2px(p>0),过抛物线焦点的直线交抛物线于A（x1,y1）B(x2,y2)