设随机变量x在区间a b上服从均匀分布,求x得数学期望ex和方差dx!

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 10:14:01

X服从均匀分布,
即X~U(a,b),则E(X)=(a+b)/2,D(X)=(b-a)²/12
证明如下：
设连续型随机变量X~U(a,b)
那么其分布函数F(x)=(x-a)/(b-a),a≤x≤b
E(x)=∫F(x)dx=∫(a到b)(x-a)/(b-a)dx
=(x²/2-a)/(b-a) |(a到b)
=(b²/2-a)/(b-a)-(a²/2-a)/(b-a)=(a+b)/2
E(x²)=∫F(x²)dx=∫(a到b)(x²-a)/(b-a)dx
=(x³/3-a)/(b-a) |(a到b)
=(b³/3-a)/(b-a)-(a³/3-a)/(b-a)=(a²+b²+ab)/3
所以D(x)=E(x²)-E(x)²
=(a²+b²+ab)/3-(a+b)²/4
=(a²+b²-2ab)/12=(b-a)²/12

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