设α1,α2,α3,α4是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系.

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 22:59:02

设α1,α2,α3,α4是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系.
证明α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1也是Ax=0的基础解系.刘老师您好.请问这个如何证明?结论成立么?

首先题目应该交代了α1,α2,α3, α4为Ax=0的基础解系.
可见α1,α2,α3, α4为Ax=0的基础解中的极大线性无关组,秩为4.
证明：1.证明α1+α2,α2+α3, α3+α4, α4+α1认为Ax=0的解；
A（α1+α2）=Aα1+ Aα2=0+0=0,显然α1+α2为Ax=0的解,同理可证其他向量也为Ax=0的解.
2.或者证明α1,α2,α3, α4和α1+α2,α2+α3, α3+α4, α4+α1为等价向量组
或者证明α1+α2,α2+α3, α3+α4, α4+α1为线性无关组.
我们采用第二种证明方法：
设c1（α1+α2）+c2(α2+α3)+c3( α3+α4)+c4(α4+α1)=0
整理得(c1+c4)α1+(c1+c2)α2+(c2+c3)α3+(c3+c4)α4=0
由α1,α2,α3, α4线性无关可得
c1+c4=0
c1+c2=0
c2+c3=0
c3+c4=0
解方程组得c1=c2=c3=c4=0.从而α1+α2,α2+α3, α3+α4, α4+α1线性无关
又由于其为Ax=0的解,所以其为Ax=0的基础解系.
证毕!

设α1,α2,α3,α4是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系. 设α1,α2,α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,证明：α1+α2,α2+α3,α3+α1也是Ax=0的一个基础设α1,α2,α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系.证明α1,α1+α2,α2+α3也是Ax=0的基础解系. 已知向量组α1,α2,α3是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系设X0是非齐次线性方程组AX=b的一个解向量,α1,α2,…αn-r是对应齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,试证设β是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,α1,α2,...,αn-r是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系, 设x0是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,α1,α2,...,αn-r是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系,证明设α1,α2,α3是齐次线性方程组Ax=0的基础解系,则下列答案中也是Ax=0的基础解系的为设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是Ax=0的解，即Aβ≠0．设α_1,α_2,α_3,⋯,α_m是其次线性方程组Ax=0的基础解系,β是非齐次线性方程组Ax=b 设β1、β2为线性方程组 AX=B的两个不同解α1.α2是对应的齐次线性方程组AX=0的基础解系,k1、k2为常数设a1,a2,a3,是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,