作业帮设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足f(1)=3∫ e^(1-x^2) f(x) dx
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 05:29:21
设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足f(1)=3∫ e^(1-x^2) f(x) dx
证明：存在c属于(0,1)使得f ' (c)=2c f(c)
证明：存在c属于(0,1)使得f ' (c)=2c f(c)
设g(x)=e^(1-x²)f(x),易证明g(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导
且g(1)=f(1)
又f(1)=3∫ g(x) dx
由积分中值定理,存在ξ∈(0,1/3),使
f(1)=3*(1/3)*g(ξ)=g(ξ)
因此可得：g(ξ)=g(1)
g(x)在 [ξ,1] 内满足罗尔中值定理条件,则
存在c∈(ξ,1),使得：g'(c)=0
g'(x)=-2xe^(1-x²)f(x)+e^(1-x²)f '(x)
因此g'(c)=-2ce^(1-c²)f(c)+e^(1-c²)f '(c)=0
两边消去e^(1-c²)得：-2cf(c)+f '(c)=0,命题得证.
且g(1)=f(1)
又f(1)=3∫ g(x) dx
由积分中值定理,存在ξ∈(0,1/3),使
f(1)=3*(1/3)*g(ξ)=g(ξ)
因此可得：g(ξ)=g(1)
g(x)在 [ξ,1] 内满足罗尔中值定理条件,则
存在c∈(ξ,1),使得：g'(c)=0
g'(x)=-2xe^(1-x²)f(x)+e^(1-x²)f '(x)
因此g'(c)=-2ce^(1-c²)f(c)+e^(1-c²)f '(c)=0
两边消去e^(1-c²)得：-2cf(c)+f '(c)=0,命题得证.
设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足f(1)=3∫ e^(1-x^2) f(x) dx
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