设f（x）在区间【0,1】上连续,在（0,1）内可导,且∫_0^1▒〖f（x）dx〗=0.

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/26 07:05:14

设f（x）在区间【0,1】上连续,在（0,1）内可导,且∫_0^1▒〖f（x）dx〗=0.
证明；存在一点ξ
（0,1）,使得2f（ξ）+ξf‘（ξ）=0,

由于∫[0→1] f(x) dx = 0,由积分中值定理,存在x1∈(0,1),使f(x1)=0
设g(x)=x²f(x),显然g(x)在[0,1]连续,在(0,1)内可导
且g(0)=0,g(x1)=x1²f(x1)=0
因此在[0,x1]内对g(x)用罗尔定理得：
存在ξ∈(0,x1),使得：g'(ξ)=0
即：2ξf(ξ) + ξ²f '(ξ) = 0
即：2f(ξ) + ξf '(ξ) = 0
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