已知函数f（x）=2-|x|，无穷数列{an}满足an+1=f（an），n∈N*

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/11 21:03:02

已知函数f（x）=2-|x|，无穷数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n），n∈N^*
（1）若a₁=0，求a₂，a₃，a₄；
（2）若a₁＞0，且a₁，a₂，a₃成等比数列，求a₁的值
（3）是否存在a₁，使得a₁，a₂，…，a_n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a₁，若不存在，说明理由．

（1）由题意，代入计算得a₂=2，a₃=0，a₄=2；
（2）a₂=2-|a₁|=2-a₁，a₃=2-|a₂|=2-|2-a₁|，
①当0＜a₁≤2时，a₃=2-（2-a₁）=a₁，
所以a12＝(2−a1)2，得a₁=1；
②当a₁＞2时，a₃=2-（a₁-2）=4-a₁，
所以a1(4−a1)＝(2−a1)2，得a1＝2−
2（舍去）或a1＝2+
2．
综合①②得a₁=1或a1＝2+
2．
（3）假设这样的等差数列存在，那么a₂=2-|a₁|，
a₃=2-|2-|a₁||，由2a₂=a₁+a₃得2-a₁+|2-|a₁||=2|a₁|（*），
以下分情况讨论：
①当a₁＞2时，由（*）得a₁=0，与a₁＞2矛盾；
②当0＜a₁≤2时，由（*）得a₁=1，从而a_n=1（n=1，2，…），
所以{a_n}是一个等差数列；
③当a₁≤0时，则公差d=a₂-a₁=（a₁+2）-a₁=2＞0，
因此存在m≥2使得a_m=a₁+2（m-1）＞2，
此时d=a_m+1-a_m=2-|a_m|-a_m＜0，矛盾．
综合①②③可知，当且仅当a₁=1时，a₁，a₂，…，a_n，…成等差数列．

已知函数f（x）=2-|x|，无穷数列{an}满足an+1=f（an），n∈N* 已知函数f(x)=(x^3-x) /3,数列{an}满足a1>=1,an+1>=f'(an+1)证明an>=（2^n）- 已知函数f(x)=x/(3x+1),数列｛an｝满足a1=1,an+1=f(an)(n∈N*）已知函数f（x）=2^x-2^-x.数列｛an｝满足f（log2 an）=-2n 已知函数f(x)=x/(3x+1),数列{an}满足a1=1,an+1=f(an)(n∈N*),求证：数列{1/an}是已知函数f(x)=x/根号下（1+x^2）,(x>0),数列an满足a1=f(x),a(n+1)=f(an) 函数f（x）的定义域为R，数列{an}满足an=f（an-1）（n∈N*且n≥2）．已知函数f(x)=(2x+3)/3x,数列{an}满足a1=1,an+1=f(1/an),n∈N*. 已知函数f(x)=3x/2x+3,数列{an}满足a1=1,an+1=f(an),n∈N* 已知函数f（x）=3x+2，数列{an}满足：a1≠-1且an+1=f（an）（n∈N*），若数列{an+c}是等比数列已知函数f（x）=2x/x+1,数列｛an｝满足：a1=2/3,an+1=f（an）,bn=（1/an）-1,n∈N* 已知函数f(x)=x/x+3,数列an满足a1=1,a（n+1）=f(an) （n属于N+）