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设函数f（x）＝log2 〔（2x－1）／（2x＋1）〕 （x＜－1／2或x＞1／2） 的反函数为f＾－1（x）．

来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 04:58:53
设函数f（x）＝log2 〔（2x－1）／（2x＋1）〕 （x＜－1／2或x＞1／2） 的反函数为f＾－1（x）．
（1）证明f＾－1（x）是奇函数；
（2）求f＾－1（x）的单调区间．
1
若反函数存在,
根据函数性质,若原函数是奇函数,则反函数一定是奇函数.
考察原函数:
f（-x）＝log2 〔（-2x－1）／（-2x＋1）〕
=log2 〔（2x＋1）／（2x－1）〕
=log2 {〔（2x－1）／（2x＋1）〕^-1}
= -log2 〔（2x－1）／（2x＋1）〕
= -f（x）
而区间关于原点对称,
则说明原函数是奇函数.
则其反函数f＾－1（x）也是奇函数
2
根据函数性质,若反函数存在且原函数单调,则反函数的单调性与原函数同.
设a＜b＜－1／2,
则2a－1＜2b－1＜－2;2a＋1＜2b＋1＜0;
→（2a＋1）（2b－1）＞0;
a-b＜0;
→1+4（a-b）／（4ab-2a+2b-1)＜1
而（2a－1）（2b＋1）／（2a＋1）（2b－1）＞0．
则 f（a）-f（b）=log2 〔（2a－1）／（2a＋1）〕-log2 〔（2b－1）／（2b＋1）〕
=log2 〔（2a－1）（2b＋1）／（2a＋1）（2b－1）〕
=log2 〔（4ab+2a-2b-1）／（4ab-2a+2b-1）〕
=log2 〔（4ab-2a+2b-1 +4a-4b）／（4ab-2a+2b-1）〕
=log2 〔1+4（a-b）／（4ab-2a+2b-1）〕
由前面分析得知,0＜1+4（a-b）／（4ab-2a+2b-1）＜1.
则log2 〔1+4（a-b）／（4ab-2a+2b-1）〕＜0．
则当x＜－1／2时,f（a）-f（b）＜0;
f（a）＜f（b）;说明此时f（x）单调递增;
那么此时f（x）＜lim(x→－1／2)f（x）=+∞;
f（x）＞lim(x→－∞)f（x）=0.
同理,或由奇偶性可知,当x＞1／2时,f（x）单调递增;
此时f（x）＞lim(x→1／2)f（x）=－∞;
f（x）＜lim(x→+∞)f（x）=0.
由于各单调区间值域不重叠,故f（x）的反函数存在.
则:反函数 f＾-1（x）
在x∈(-∞,0)时单调递增;
在x∈(0,+∞)时单调递增;
设函数f（x）＝log2 〔（2x－1）／（2x＋1）〕 （x＜－1／2或x＞1／2） 的反函数为f＾－1（x）． 设函数f（x）＝log2（2的x次方＋1）反函数 设函数f（x）=log2 2x-1/2x+1（x＜-1/2或x＞1/2）的反函数为f-1（x). 设函数f(x)=2^x有反函数f^-1(x),g(x)=log2为底(3x+1） 设 f（x）=3x,f(x)的反函数为y=f-1（x）,且f-1（18）=a+2,试求函数g（x）=3ax－4x的定义域 函数F(X)满足F[1/（X+|X|)]=LOG2√（X|X|）,则F(X)的解析式是 LOG2是以2为底的对数 28（6）：函数f(x)={log2(x),(x＞0);-x²-2x+1,x≤0},若关于x的方程f[f(x) 若函数y=((x-1)/(x+1))^2;的反函数为y=f^(-1)(x) 设g（x）=（f^(-1)(x) )^(-1 设函数f（x）=2x，其反函数记为f-1（x），则函数y=f（x）+f-1（x）（x∈[1，2]）的值域为______． 已知函数f(x)= log1/2 (x+√（x²-2）)的反函数为f-1(x) 函数f(x)=log2[4^x-2^（x+1）+3]的值域为 f（x）=log2 （2^x+1）的反函数怎么求