已知，如图二次函数y=ax 2 +bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4）与x轴交于点A、B，点B（4，0），抛

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 12:48:26

已知，如图二次函数y=ax² +bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4）与x轴交于点A、B，点B（4，0），抛物线的对称轴为x=1．直线AD交抛物线于点D（2，m），
（1）求二次函数的解析式并写出D点坐标；
（2）点Q是线段AB上的一动点，过点Q作QE∥AD交BD于E，连结DQ，当△DQE的面积最大时，求点Q的坐标；
（3）抛物线与y轴交于点C，直线AD与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形CMNF周长取最小值时，求出满足条件的点M和点N的坐标．

（1）点D的坐标为（2，4）．
（2）当t=1时，S_△ _DQE 有最大值，所以此时Q点的坐标为（1，0）；
（3）满足条件的点N的坐标为N（

，0），点M的坐标为M（1，1）．

试题分析：（1）根据点C（0，4），点B（4，0），抛物线的对称轴为x=1可得关于a，b，c的方程组，解方程求得a，b，c的值，从而得到二次函数的解析式，再将点D（2，m）代入二次函数的解析式，得到关于m的方程，求得m的值，从而求解；
（2）先求得A，B点的坐标，过点E作EG⊥QB，根据相似三角形的判定和性质可得EG=

，由于S_△ _DQE =S_△ _BDQ -S_△ _BEQ ，配方后即可得到S_△ _DQE 有最大值时Q点的坐标；
（3）根据待定系数法得到直线AD的解析式为：y=x+2，过点F作关于x轴的对称点F′，即F′（0，-2），再连接DF′交对称轴于M′，x轴于N′，由条件可知，点C，D是关于对称轴x=1对称，则CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2

，得到四边形CFNM的最短周长为：2+2

时直线DF′的解析式为：y=3x-2，长而得到满足条件的点M和点N的坐标．
（1）由题意有：

，
解得：

．
所以，二次函数的解析式为：y=-

x² +x+4，
∵点D（2，m）在抛物线上，即m=-

×2² +2+4=4，
所以点D的坐标为（2，4）．
（2）令y=0，即-

x² +x+4=0，解得：x₁ =4，x₂ =-2，
∴A，B点的坐标分别是（-2，0），（4，0），
如图1，过点E作EG⊥QB，垂足为G，设Q点坐标为（t，0），
∵QE∥AD，
∴△BEQ与△BDA相似，
∴

，即

，
∴EG=

，
∴S_△ _BEQ =

×（4-t）×

，
∴S_△ _DQE =S_△ _BDQ -S_△ _BEQ
=

×（4-t）×4-S_△ _BEQ
=2（4-t）-

（4-t）²
=-

t² +

（t-1）² +3，
∴当t=1时，S_△ _DQE 有最大值，所以此时Q点的坐标为（1，0）；

（3）由A（-2，0），D（2，4），可求得直线AD的解析式为：y=x+2，即点F的坐标为：F（0，2），
如图2，过点F作关于x轴的对称点F′，即F′（0，-2），再连接DF′交对称轴于M′，x轴于N′，由条件可知，点C，D是关于对称轴x=1对称,
则CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2

，
则四边形CFNM的周长=CF+FN+NM+MC≥CF+FN′+M′N′+M′C,
即四边形CFNM的最短周长为：2+2

．
此时直线DF′的解析式为：y=3x-2，
所以存在点N的坐标为N（

，0），点M的坐标为M（1，1）．

（2014•江西模拟）已知，如图二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4）与x轴交于点A、B，已知,如图二次函数y=ax²+bx+c的图像与y轴交于点c（0,4）与X轴交于点A,B点B（4,0）抛物线对称已知，如图二次函数y=ax 2 +bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4）与x轴交于点A、B，点B（4，0），抛已知二次函数y=ax^2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A、B两点,且点A在点B的左边,与y轴交于点C,且过点M(- 如图，已知二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）的图象与x轴交于点A（1，0）、B（-3，0），与y轴交于点C．已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标是（-2，0），点B在x轴的如图1,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象顶点为D,与y轴交于点C,与x轴交于点A、B,点如图,二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴交于点A（6,0）和点B（2,0）,与y轴交于点C（0,2√3）二次函数--快已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像与y轴交于点C,与x轴交于点A（x1,0）B(x2,0)(x1＜x 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为实数，a≠0）的图象过点C（t，2），且与x轴交于A，B两点，若AC 如图,二次函数y=ax^2+bx+c的图象与x轴交于AB两点,与y轴交与C点,且对称轴为x=1,点B坐标为（-1,0）则如图1,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象顶点为D,与y轴交于点C,与x轴交于点A、B,