作业帮求问一道双曲线参数方程的题,麻烦前辈、高人们帮忙看下~
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 11:18:58
求问一道双曲线参数方程的题,麻烦前辈、高人们帮忙看下~
过双曲线上任意一点引双曲线的切线.试证：由两焦点到这条切线的距离之积为定值.
下面是材料中的解：如图设P(asecθ,btanθ)为双曲线上任一点,PT为过P点曲线的切线.d1,d2分别为两焦点F1(-c,0),F2(c,0)到PT的距离.切线PT的方程为：
bsecθ·x-atanθ·y-ab=0,d1=|bcsecθ+ab|/√(b^2sec^2θ+a^2tan^2θ),☜
d2=|bcsecθ-ab|/√(b^2sec^2θ+a^2tan^2θ)
∵|cosθ|1,又c^2>a^2；∴b^2c^2sec^2θ-a^2b^2>0
∴d1d2=|b^2c^2sec^2θ-a^2b^2|/(b^2sec^2θ+a^2tan^2θ)
=(b^2c^2sec^2θ-a^2b^2)/(b^2sec^2θ+a^2tan^2θ)
∵b是常数
∴d1d2=b^2为定值.
我想问下,切线PT的方程：bsecθ·x-atanθ·y-ab=0是怎样得来的?
过双曲线上任意一点引双曲线的切线.试证：由两焦点到这条切线的距离之积为定值.
下面是材料中的解：如图设P(asecθ,btanθ)为双曲线上任一点,PT为过P点曲线的切线.d1,d2分别为两焦点F1(-c,0),F2(c,0)到PT的距离.切线PT的方程为：
bsecθ·x-atanθ·y-ab=0,d1=|bcsecθ+ab|/√(b^2sec^2θ+a^2tan^2θ),☜
d2=|bcsecθ-ab|/√(b^2sec^2θ+a^2tan^2θ)
∵|cosθ|1,又c^2>a^2；∴b^2c^2sec^2θ-a^2b^2>0
∴d1d2=|b^2c^2sec^2θ-a^2b^2|/(b^2sec^2θ+a^2tan^2θ)
=(b^2c^2sec^2θ-a^2b^2)/(b^2sec^2θ+a^2tan^2θ)
∵b是常数
∴d1d2=b^2为定值.
我想问下,切线PT的方程：bsecθ·x-atanθ·y-ab=0是怎样得来的?
这个是切线方程的公式
双曲线x²/a²-y²/b²=1,切点(x0,y0)
则切线方程 x0*x/a²-y0*y/b²=1
现在切点为P(asecθ,btanθ)
则方程为a*secθ*x/a²-b*tanθ/b²=1
即 secθ*x/a-tanθ/b=1
即 bsecθ·x-atanθ·y-ab=0
再问： 谢谢，可以再问下，这个切线方程的公式是怎样推导出来的？我现在思路有点乱，呵呵
再答： 可以用导数方法或者联立方程组的方法得到此切线方程， 我给你找找资料。 http://baike.baidu.com/view/2710221.htm
双曲线x²/a²-y²/b²=1,切点(x0,y0)
则切线方程 x0*x/a²-y0*y/b²=1
现在切点为P(asecθ,btanθ)
则方程为a*secθ*x/a²-b*tanθ/b²=1
即 secθ*x/a-tanθ/b=1
即 bsecθ·x-atanθ·y-ab=0
再问： 谢谢，可以再问下，这个切线方程的公式是怎样推导出来的？我现在思路有点乱，呵呵
再答： 可以用导数方法或者联立方程组的方法得到此切线方程， 我给你找找资料。 http://baike.baidu.com/view/2710221.htm