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已知向量a=(2cosφ,2sinφ),φ∈(π/2,π),向量b=(0,-1),则向量a与b的夹角为

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/29 09:45:39
已知向量a=(2cosφ,2sinφ),φ∈(π/2,π),向量b=(0,-1),则向量a与b的夹角为
A.3π/2-φ B.π/2+φ C.φ-π/2 D.φ
【1】可设两个向量a,b的夹角为θ,易知:0º≤θ≤180º.【2】∵向量a=(2cosψ,2sinψ).向量b=(0,-1).∴|a|=2,|b|=1.且a·b=-2sinψ.又cosθ=(a·b)/(|a|×|b|).∴cosθ=(-2sinψ)/2=-sinψ.即有:cosθ=-sinψ.【3】由题设可知:ψ∈(π/2,π),即π/2<ψ<π.∴0<sinψ<1.∴-1<-sinψ<0.∴-1<cosθ<0.结合0≤θ≤π,可知:π/2<θ<π.【4】∵cosθ=-sinψ.∴cos(π-θ)=sinψ=cos[(π/2)-ψ]=cos[ψ-(π/2)].即有:cos(π-θ)=cos[ψ-(π/2)].由π/2<θ<π,且π/2<ψ<π可知:0<π-θ<π/2.且0<ψ-(π/2)<π/2.∴π-θ=ψ-(π/2).∴θ=(3π/2)-ψ.即两个向量a,b的夹角为(3π/2)-ψ.∴选A.