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把可以表示成两个整数的平方之和的全体整数记作集合M,试证明集合M任意两个元素的乘积仍属于M

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/30 09:05:19
把可以表示成两个整数的平方之和的全体整数记作集合M,试证明集合M任意两个元素的乘积仍属于M
.(a2+b2)(d2+e2)=a2d2+a2e2+b2d2+b2e2+2abde-2abde
=(ad+be)2+(ae-bd)2
你自己不是已经把步骤写出来了么.假设M中的任意的两个整数x和y:
x=a²+b²,y=d²+e²
x*y=(a²+b²)(d²+e²)=(ad)²+(ae)²+(bd)²+(be)²+2abde-2abde
=[(ad)²+2abde+(be)²]+[(ae)²-2abde+(bd)²]
=(ad+be)²+(ae-bd)²
因为a,b,d,e都是整数,所以ad+be和ae-bd也是整数.即x*y也能表示为两个整数的平方和.所以x*y∈M