作业帮超难初中几何题（高人来）3
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/04/26 22:26:48
超难初中几何题（高人来）3
已知：任意三角形ABC中,分别以AB,AC,BC为斜边向外作等腰直角三角形ABD,ACE,BCF
连接AF,DE
求证：AF=DE,AF⊥DE
已知：任意三角形ABC中,分别以AB,AC,BC为斜边向外作等腰直角三角形ABD,ACE,BCF
连接AF,DE
求证：AF=DE,AF⊥DE
设∠AED=β,∠CAF=α,BC=a,CA=b,AB=c,∠A=A,∠B=B,∠C=C.
正弦定理：AF/sin(C+45°)=FC/sinα ,AF/sin(B+45°)=FB/sin(A-α),两式相比,得sin(A-α)/sinA=sin(B+45°)/sin(C+45°） （1）
再在△AEF中使用正弦定理：AE/sin(180°-90°-A-β)=AD/sinβ
又有 ：AE/AD=AC/AB=b/c=sinB/sinC
以上两式整理 得到 ：sinβ/cos(A+β)=sinC/sinB (2)
通过（1）（2）两式可以分别整理出 tanβ和tanα关于B、C的表达式
（A用180°-B-C带入）
再应用：tan(45°-α)=(1-tanα)/(1+tanα)
将tanα的表达式带入,发现与tanβ表达式相同
得出结论,tan(45°-α)=tanβ
∠AEF+∠CAD=45°
后面的就- -
正弦定理：AF/sin(C+45°)=FC/sinα ,AF/sin(B+45°)=FB/sin(A-α),两式相比,得sin(A-α)/sinA=sin(B+45°)/sin(C+45°） （1）
再在△AEF中使用正弦定理：AE/sin(180°-90°-A-β)=AD/sinβ
又有 ：AE/AD=AC/AB=b/c=sinB/sinC
以上两式整理 得到 ：sinβ/cos(A+β)=sinC/sinB (2)
通过（1）（2）两式可以分别整理出 tanβ和tanα关于B、C的表达式
（A用180°-B-C带入）
再应用：tan(45°-α)=(1-tanα)/(1+tanα)
将tanα的表达式带入,发现与tanβ表达式相同
得出结论,tan(45°-α)=tanβ
∠AEF+∠CAD=45°
后面的就- -