初中几何难题（高人来）5

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 11:16:21

初中几何难题（高人来）5
已知：点K在锐角三角形ABC的边BC上,且异于中点,在AK的延长线上任取一点D,直线AB与直线CD交于M,直线AC与直线BD交于N,O是三角形ABC的外心,若OK垂直于MN.
求证：A、B、C、D四点共圆.
【图在上传中请稍等】

用反证法易证出对角互补的四边形的四个顶点共圆
∵弧BD=弧BD
所以角BCD=角BAD
∵弧CD=弧CD
所以∠DBC=∠DAC
因为角DBC+角DCB+角BDC=180°
所以∠BAD+角cad+角BDC=180°
即∠BAC与∠BDC互补
反证法证明
四边形ABCD中,∠A+∠C=180°
四边形ABCD内接于一个圆（A,B,C,D四点共圆）
过A,B,D作圆O,假设C不在圆O上,刚C在圆外或圆内,
若C在圆外,设BC交圆O于C’,连结DC’,根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180°,
∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C
这与三角形外角定理矛盾,故C不可能在圆外.类似地可证C不可能在圆内.
∴C在圆O上,也即A,B,C,D四点共圆.

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