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如图,△ABC内接于⊙O,过点B的切线与CA的延长线相交于点E,且∠BEC=90°,点D在OA的延长线上,AO⊥BC,∠

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/28 09:15:11
如图,△ABC内接于⊙O,过点B的切线与CA的延长线相交于点E,且∠BEC=90°,点D在OA的延长线上,AO⊥BC,∠ODC=30°.

(1)求证:DC为⊙O的切线.
(2)若CA=6,求DC的长.
(1)连接OC,如图所示:
∵AO⊥BC,且O为圆心,
∴点A为

BC的中点,即

AB=

AC,
∴∠BCA=∠ABC,
又BE为切线,
∴∠ABE=∠ACB,
∴∠ABE=∠ACB=∠ABC,
∵∠BEC=90°,
∴∠ABE=∠ACB=∠ABC=30°,
∴∠AOC=2∠ABC=60°,又∠ODC=30°,
∴∠OCD=180°-∠AOC-∠ODC=90°,
∴OC⊥CD,
则CD为圆O切线;
(2)∵OA=OC,∠AOC=60°,
∴△AOC为等边三角形,
∴OA=OC=AC=6,
在Rt△OCD中,∠ODC=30°,
∴tan∠ODC=tan30°=
OC
CD,
则CD=
OC
tan30°=6
3.