初学求助：用分布积分的方法求不定积分之,求In(x^2+1)的不定积分

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/01 22:03:18

初学求助：用分布积分的方法求不定积分之,求In(x^2+1)的不定积分
我看了网上,别人提问的解答,过程如下：
∫ ln(x²+1) dx 分部积分
= x * ln(x²+1) - ∫ x * 2x/(x²+1) dx
= x * ln(x²+1) - 2 ∫ [1- 1/(x²+1)] dx
= x * ln(x²+1) - 2x + 2 arctanx + C
我们老师教的是: 例如要求∫xcosxdx
要设u=x, v'=cosx
则u'=1, v=sinx
根据公式∫uv'dx=uv-∫u'vdx
得到原式=xsinx+∫sinxdx
=xsinx+cosx+C
可是在我提问的这道题里,∫In(x^2+1),我看不懂,哪个是u,哪个是v?
求解答!谢谢!

分部积分法：
∫ uv' dx = ∫ udv
= uv - ∫ vdu
= uv - ∫ vu' dx
在这里,u是比v更加复杂的函数
对于∫ ln(x² + 1) dx
这里是 ln(x² + 1) 和 1 这两个函数的乘积
明显前者比较复杂,所以
设u = ln(x² + 1)、则u' = 2x/(x² + 1)
而v' = 1、则v = x
所以∫ udv = ∫ ln(x² + 1) d(x)
= uv - ∫ vdu
= xln(x² + 1) - ∫ (x) d[ln(x² + 1)]
= uv - ∫ vu' dx
= xln(x² + 1) - ∫ (x) * 2x/(x² + 1) dx
= xln(x² + 1) - 2∫ x²/(x² + 1) dx
对于∫ xcosx dx
这里是 x 和 cosx 这两个函数的乘积
这里看似是cosx比较复杂的,但cosx却不是当u的,请看最下面的记忆法
因为u = x、u' = 1
而v' = cosx、v = sinx
∫ udv = ∫ (x) d(sinx)
= uv - ∫ vdu
= xsinx - ∫ (sinx) d(x)
= xsinx - ∫ sinx dx
如果你设u = cosx、u' = - sinx
而v' = x、v = x²/2
则∫ udv = ∫ (cosx) d(x²/2)
= (x²/2)(cosx) - ∫ (x²/2) d(cosx)
= (x²/2)(cosx) - ∫ (x²/2)(- sinx) dx
你可以看到这里非但没有将积分化简,反而变得更麻烦.
所以哪个应当u、哪个应当v也有个记忆法的：
逢是求导或求积分无限次都不会消失的函数
例如sinx,cosx,e^x等,这些都是优先当v'的
如果两个都是这类型的,
例如(e^x)sinx、(e^x)cosx等、则哪个当u或v'都可以.

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