已知a>0,b>0,求证√a+√b+√ab≤a+b+1

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 11:27:32

证明：
令A=√a,B=√b
则我们要证明的变为
A+B+AB≤A²+B²+1
即
A+B-AB-1≤A²+B²-2AB
即
（A-1）（1-B）≤（A-B）²
若（A-1）（1-B）是一个负数或零,则上式当然成立.
下面我只考虑（A-1）（1-B）＞0的情况.
即A＞1同时B＜1,或者A＜1同时B＞1.
先看A＞1同时B＜1的情况.
设A-1=M＞0,1-B=N＞0,那么我们要证明
MN≤（A-B）²=[（A-1）+（1-B）]²=（M+N）²
即要证明
MN≤M²+N²+2MN
即要证明
0≤M²+N²+MN
这是显然的.
对于A＜1同时B＞1的情况,可类似地证明.完.

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