【高二数学】已知a＞b＞0,求证：（a-b)²/8a ＜（a+b)/2— √（ab)＜（a-b)²

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 16:17:18

【高二数学】已知a＞b＞0,求证：（a-b)²/8a ＜（a+b)/2— √（ab)＜（a-b)²/8b
已知a＞b＞0,
求证：（a-b)²/8a ＜（a+b)/2— √（ab)＜（a-b)²/8b
其中√（ab)表示根号下ab.
题目提示用分析法.
请说明步骤,谢谢!

因为a＞b＞0
要证 (a-b)^2/8a＜(a+b)/2-√ab＜（a-b)^2/8b
即证 (a-b)^2/8a＜(√a-√b)^2/2＜（a-b)^2/8b
即证 b(a-b)^2＜4ab(√a-√b)^2＜a(a-b)^2
即证 b(√a+√b)^2＜4ab＜a(√a+√b)^2
即证 (√a+√b)^2/a＜4＜(√a+√b)^2/b
即证 (1+√(b/a)^2＜4＜(√(a/b)+1)^2
即证 1+√(b/a)＜2＜√(a/b)+1
即证 √(b/a)＜1＜√(a/b)
即证 b/a＜1＜a/b
因为a＞b＞0
显然上式成立
所以：（a-b)²/8a ＜（a+b)/2— √（ab)＜（a-b)²/8b
再问：为什么由b(a-b)^2＜4ab(√a-√b)^2＜a(a-b)^2可以得到 b(√a+√b)^2＜4ab＜a(√a+√b)^2 呢？如果是同时除以(√a-√b)^2，那b(a-b)^2除以(√a-√b)^2为什么得到b(√a+√b)^2？
再答： b(a-b)^2/(√a-√b)^2 分子，分母同时乘以(√a+√b)^2 化简即可得

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