设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1+2a2+3a3+…+nan=（n-1）Sn+2n （n∈N*）．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 19:22:02

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n （n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）求证：数列{S_n+2}是等比数列．

（1）∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n（n∈N^*），
∴当n=1时，a₁=2×1=2；   （2分）
当n=2时，a₁+2a₂=（a₁+a₂）+4，∴a₂=4；  （5分）
当n=3时，a₁+2a₂+3a₃=2（a₁+a₂+a₃）+6，∴a₃=8．（8分）
（2）证明：∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n（n∈N^*），①
∴当n≥2时，a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=（n-2）S_n-1+2（n-1）．②（9分）
①-②得na_n=（n-1）S_n-（n-2）S_n-1+2
∴na_n=n（S_n-S_n-1）-S_n+2S_n-1+2
∴na_n=na_n-S_n+2S_n-1+2．（11分）
∴-S_n+2S_n-1+2=0，即S_n=2S_n-1+2，
∴S_n+2=2（S_n-1+2）．          （13分）
∵S₁+2=4≠0，∴S_n-1+2≠0，∴
Sn+2
Sn−1+2=2，（14分）
故{S_n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．   （15分）

设数列{an}的前n项和为sn,已知a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*) 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1+2a2+3a3+…+nan=（n-1）Sn+2n （n∈N*）．已知数列{an}的前n项和为Sn，且 a1+2a2+3a3+…+nan=（n-1）Sn+2n（n∈N*）．设数列an的前n项和为Sn 已知a1+2a2+3a3+……+nan=(n-1)Sn+2n 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1+2a2+3a3+…+nan=（n-1）Sn+2n（n∈N*），求数列{an}通设数列{an}的前n项和为Sn,a1+2a2+3a3.+nan=(n-1)Sn+2n, 已知数列an满足a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2),则它的前n项和Sn=? 已知数列an满足a1+2a2+3a3+...+nan=n(n+1)*(n+2),则数列an的前n项和Sn=? 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn=nan-n（n-1）（n∈N+）已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=n（n+1）（n+2），则它的前n项和Sn=______．已知数列{an}的首项是a1=1，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+3n+1（n∈N*）．已知Sn是数列{an}的前n项和，且a1=1，nan+1=2Sn（n∈N*）．