（2014•莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4-x于C、D两点．抛物线y=ax2+b

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/05/01 17:46:28

（2014•莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4-x于C、D两点．抛物线y=ax²+bx+c经过O、C、D三点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．

（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）．
∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y=ax²+bx．
∴

a+b＝3
9a+3b＝1，
解得

a＝−
4
3
b＝
13
3，
∴抛物线的表达式为：y=-
4
3x²+
13
3x．

（2）存在．
设直线OD解析式为y=kx，将D（3，1）代入，
求得k=
1
3，
∴直线OD解析式为y=
1
3x．
设点M的横坐标为x，则M（x，
1
3x），N（x，-
4
3x²+
13
3x），
∴MN=|y_M-y_N|=|
1
3x-（-
4
3x²+
13
3x）|=|
4
3x²-4x|．
由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3．
∴|
4
3x²-4x|=3．
若
4
3x²-4x=3，整理得：4x²-12x-9=0，
解得：x=
3+3
2
2或x=
3−3
2
2；
若
4
3x²-4x=-3，整理得：4x²-12x+9=0，
解得：x=
3
2．
∴存在满足条件的点M，点M的横坐标为：
3
2或
3+3
2
2或
3−3
2
2．

（3）∵C（1，3），D（3，1）

∴易得直线OC的解析式为y=3x，直线OD的解析式为y=
1
3x．
如解答图所示，
设平移中的三角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上．
设O′C′与x轴交于点E，与直线OD交于点P；
设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．
设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），
则图中AF=t，F（1+t，0），Q（1+t，
1
3+
1
3t），C′（1+t，3-t）．
设直线O′C′的解析式为y=3x+b，
将C′（1+t，3-t）代入得：b=-4t，
∴直线O′C′的解析式为y=3x-4t．
∴E（
4
3t，0）．
联立y=3x-4t与y=
1
3x，解得x=
3
2t，
∴P（
3
2t，
1
2t）．
过点P作PG⊥x轴于点G，则PG=
1
2t．
∴S=S_△OFQ-S_△OEP=
1
2OF•FQ-
1
2OE•PG
=
1
2（1+t）（
1
3+
1
3t）-
1
2•
4
3t•
1
2t
=-
1
6（t-1）²+
1
3
当t=1时，S有最大值为
1
3．
∴S的最大值为
1
3．

如图,过A(1,0),B(3,0)作x轴的垂线,分别交直线y=4-x于C,D两点.抛物线y=ax平方+bx+c经过O,C 如图,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点,过点A的直线l与抛物线交于点C,其中A点的坐标是（1,0）,C 如图,过原点的直线与函数y=2^x的图像交于A,B两点,过A,B作y轴的垂线分别交函数y=4^x的图像于点C,D. 已知直线y=-2/3x+2分别与x轴、y轴相交于A、B两点,过点C（0,-3）作直线AB的垂线交直线AB于点E,交x轴于二次函数Y=1/8·X^的图像如图所示,过Y轴上一点M（0,2）的直线与抛物线交于A,B两点,过点A,B分别作y轴的垂线如图,直线y=x+b（b≠0）交坐标轴于A、B两点,交双曲线y= 2 x 于点D,过D作两坐标轴的垂线DC、DE,连接O 如图1,抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1,4）,交x轴于A,B两点,交y轴于点D,其中点B的坐标3.0 （2013•新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．如图,直线y=3x+3交x轴于A点,交y轴于B点,过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0）．如图点a b为直线y=x上的两点,过A,B两点分别作y轴的平行线交y=4/x (x>0)于C,D两点. （2014•漳州模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为OC的中点，直线AD