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(2013•新疆)如图,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点,过点A的直线l与抛物线交于点C,其中A点的坐

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2022/05/20 20:57:39
(2013•新疆)如图,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点,过点A的直线l与抛物线交于点C,其中A点的坐标是(1,0),C点坐标是(4,3).

(1)求抛物线的解析式;
(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点D,使△BCD的周长最小?若存在,求出点D的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)若点E是(1)中抛物线上的一个动点,且位于直线AC的下方,试求△ACE的最大面积及E点的坐标.
(1)∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0),点C(4,3),


a+b+3=0
16a+4b+3=3,
解得

a=1
b=−4,
所以,抛物线的解析式为y=x2-4x+3;
(2)∵点A、B关于对称轴对称,
∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小,
设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0),


k+b=0
4k+b=3,
解得

k=1
b=−1,
所以,直线AC的解析式为y=x-1,
∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴抛物线的对称轴为直线x=2,
当x=2时,y=2-1=1,
∴抛物线对称轴上存在点D(2,1),使△BCD的周长最小;