过坐标原点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C:3x2+4y2=12分别交与A,B两点,证明点O到直线AB的距离为定值.

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 03:29:20

设过坐标原点O作的两条互相垂直的射线的方程分别为y=kx和y=(-1/k)x
并令它们与椭圆的交点分别为A(x1,y1)和B(x2,y2),则y1=kx1,y2=(-1/k)x2
将它们分别代入椭圆3x^2+4y^2=12中,得：(3+4k^2)*(x1)^2=12,(4+3k^2)*(x2)^2=12k^2
所以(x1)^2=12/(3+4k^2),(x2)^2=12k^2/(4+3k^2)
所以(|AB|)^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=(x2-x1)^2+{[(-1/k)x2]-kx1}^2
=(x2-x1)^2+[(1/k)x2+kx1]^2
=(x2)^2+(x1)^2-2x2x1+(1/k^2)*(x2)^2+(kx1)^2+2x2x1
=[(1+k^2)/k^2]*(x2)^2+(1+k^2)*(x1)^2
=[(1+k^2)/k^2]*[12k^2/(4+3k^2)]+(1+k^2)*[12/(3+4k^2)]
=[12(1+k^2)/(4+3k^2)]+[12(1+k^2)/(3+4k^2)]
=[12(1+k^2)]*(4+3k^2+3+4k^2)/[(4+3k^2)(3+4k^2)]
=[84(1+k^2)^2]/(12k^4+24k^2+12)
=[84(1+k^2)^2]/[12(1+k^2)^2]
=7
而(|OA|)^2=(x1)^2+(y1)^2=(1+k^2)*(x1)^2,(|OB|)^2=(x2)^2+(y2)^2=[(1+k^2)/k^2]*(x2)^2
所以(|OA|*|OB|)^2=(1+k^2)*[12/(3+4k^2)]*[(1+k^2)/k^2]*[12k^2/(4+3k^2)]
=144(1+k^2)^2/[(3+4k^2)(4+3k^2)]
=144(1+k^2)^2/[12(1+k^2)^2]
=12
点O到直线AB的距离为d,则S△OAB=1/2*|AB|*d=1/2*|OA|*|OB|
所以d^2=(|OA|*|OB|)^2/(|AB|)^2=12/7,所以d=√(12/7)=(2√21)/7,为定值
所以点O到直线AB的距离为定值(2√21)/7

已知椭圆X2/4+Y2/3=1,以坐标原点作两条相互垂直的射线分别交椭圆于A,B两点,求证：坐标原点到直线AB距离是定植已知椭圆：x^2/3+y^2=1,过坐标原点o做两条互相垂直的射线,与椭圆分别交于A、B两点. 已知椭圆W：x2/4+y2=1,直线l过点（0，-2）与椭圆W交于两点A，B，O为坐标原点。（1）设C为AB的中点，当过点P（-√3,0）作直线与椭圆3X2+4Y2=12交与A,B两点,O为坐标原点求三角形AOB面积的最大值..方法好椭圆x2/4+y2/2=1的左右焦点分别为F1、F2,直线L过F2与椭圆相交于AB两点,O为坐标原点过椭圆x2/5+y2/4=1的左焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点求弦AB的长已知点P（2，2），圆C：x2+y2-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．已知点P（2，2），圆C：x2+y2-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．已知点P（2,2）,圆C：x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点已知O为坐标原点,F为椭圆C：x2+y2/2=1在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为负根号2的直线l与c交予AB两点,点P 过椭圆x2/5+y2/4=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,求三角形OAB的面积已知直线l：y=kx+m与椭圆x23+y2＝1交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为32，设弦长|AB|=f（k）