已知关于x的方程kx2-（4k+1）x+4=0．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/28 07:04:54

已知关于x的方程kx²-（4k+1）x+4=0．
（1）当k取何值时，方程有两个实数根；
（2）若二次函数y=kx²-（4k+1）x+4的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，求k值并用配方法求出抛物线的顶点坐标；
（3）若（2）中的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．将抛物线向上平移n个单位，使平移后得到的抛物线的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），写出n的取值范围．

（1）△=b²-4ac=[-（4k+1）]²-4×4k≥0，
整理得，（4k-1）²≥0，
∴对于k≠0的任何实数，关于x的方程kx²-（4k+1）x+4=0总有两个实数根；

（2）令y=0，则kx²-（4k+1）x+4=0，
即（kx-1）（x-4）=0，
解得x₁=
1
k，x₂=4，
∵函数图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，k为正整数，
∴k=1，
∴二次函数解析式为y=x²-5x+4，

∵y=x²-5x+4，
=x²-5x+
25
4-
25
4+4，
=（x-
5
2）²-
9
4，
∴抛物线的顶点坐标为（
5
2，-
9
4）；

（3）由（2）得，点A（1，0），B（4，0），
令x=0，则y=4，
∴点C的坐标为（0，4），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

4k+b＝0
b＝4，
解得

k＝−1
b＝4，
∴直线BC的解析式为y=-x+4，
∵二次函数的对称轴为直线x=
5
2，
∴当x=
5
2时，y=-
5
2+4=
3
2，
∵
3
2-（-
9
4）=
3
2+
9
4=
15
4，
∴当抛物线的顶点落在△ABC的内部时，
9
4＜n＜
15
4．

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