直线过抛物线C:x^2=2py(p>0)的焦点F与抛物线C交于A,B两点,过线段AB的中点M作x轴的垂线交抛物线于N点,

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 13:57:42

直线过抛物线C:x^2=2py(p>0)的焦点F与抛物线C交于A,B两点,过线段AB的中点M作x轴的垂线交抛物线于N点,若
若丨AB丨=L（L>2p）,则丨MN丨=
A、L/4 B、p/2 C、（L-p）/2 D、（L+2p）/8求过程！

答：选择A
抛物线x^2=2py,p>0
则抛物线开口向上,焦点F（0,p/2）,准线y=-p/2
直线为：y-p/2=kx,y=kx+p/2
代入抛物线方程有：
x^2=2py=2p(kx+p/2)=2pkx+p^2
x^2-2pkx-p^2=0
根据韦达定理：
x1+x2=2pk
x1*x2=-p^2
点M横坐标x=(x1+x2)/2=pk
AB=L,AB^2=L^2：
(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=L^2
(k^2+1)(x1-x2)^2=L^2
(x1+x2)^2-4x1x2=L^2/(k^2+1)=4(pk)^2+4p^2=4(k^2+1)p^2
L^2=4(k^2+1)^2*p^2
所以：L=2(k^2+1)p
x=pk代入x^2=2py得：y=(pk^2)/2
点M纵坐标y=kx+p/2=k*pk+p/2=pk^2+p/2
所以：MN=pk^2+p/2-(pk^2)/2=(1/2)(k^2+1)p=(1/2)*(L/2)=L/4
所以：选择A

直线过抛物线C:x^2=2py(p>0)的焦点F与抛物线C交于A,B两点,过线段AB的中点M作x轴的垂线交抛物线于N点, 1.已知抛物线C：y=2x^2,直线y=kx+2交C于A,B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线交C于点N 已知抛物线C:y=2x^2,直线y=kx+2交C于A,B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线交C于点N. 过抛物线y^2=4x的焦点作直线与抛物线交于A、B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程过抛物线y2=2px(p>0)焦点F作弦AB,过线段AB的中点M作X轴的平行线交抛物线的准线L于点C.求证AC垂直BC 设抛物线x^2=-4y的准线与y轴的焦点为C,过点C作直线l交抛物线A、B两点,求线段AB中点M的轨迹方程. 1.设抛物线x^2=-4y的准线与y轴的焦点为C,过点C作直线l交抛物线A、B两点,求线段AB中点M的轨迹方程. 数学圆锥曲线已知抛物线C：y=2x2（平方）直线y=kx+2交C于AB两点。M是线段AB 的中点。过点M作x轴垂线交C 已知抛物线C:y=2x^2,直线y=kx+2交C于A,B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线交C于N证明过N与抛物已知抛物线y^2=-4x的焦点为F,其准线与x轴交于点M,过M作斜率为K的直线l与抛物线交于A、B两点,弦AB的. 过点P(-1,0)的直线与抛物线y=x^2交于A,B两点,求线段AB中点M的轨迹方程顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线C过点P(4,4),过该抛物线焦点F大大的直线交抛物线于A、B两点,点M、N分别为A、B