作业帮三重积分等于零的问题.
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/01 11:45:16
三重积分等于零的问题.
1.已知：f(x,y,z)的三重积分等于零,Ω是x>0的任意闭区域,f(x,y,z)在Ω区域上连续.请问能否得出被积函数f(x,y,z)=0
2.已知：f(x,y,z)的三重积分等于零,Ω是由椭球面(x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1所围成的空间闭区域,f(x,y,z)在Ω区域上连续,请问能否得出被积函数f(x,y,z)=0
最好说下为什么.
1.已知：f(x,y,z)的三重积分等于零,Ω是x>0的任意闭区域,f(x,y,z)在Ω区域上连续.请问能否得出被积函数f(x,y,z)=0
2.已知：f(x,y,z)的三重积分等于零,Ω是由椭球面(x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1所围成的空间闭区域,f(x,y,z)在Ω区域上连续,请问能否得出被积函数f(x,y,z)=0
最好说下为什么.
1、结论正确：
证明：假设f(x,y,z)≠0,则存在(x0,y0,z0)∈Ω,使得f(x0,y0,z0)≠0
不妨设f(x0,y0,z0)>0,由极限的局部保号性,存在(x0,y0,z0)的一个小邻域U,在此邻域内
有f(x,y,z)>0,设U的体积为V
由积分中值定理：则
∫∫∫(U) f(x,y,z) dxdydz
=f(x1,y1,z1)V 其中(x1,y1,z1)∈U
>0
则函数在U上的积分大于0,与“任意区域上的积分为0.”矛盾
2、结论错误：
反例：同济大学教材里有个例题
∫∫∫ z² dxdydz,积分区域就是你给的这个区域,结果为(4/15)abc³
因此：类似可计算出∫∫∫ y² dxdydz=(4/15)ab³c
因此：∫∫∫ z²/c² dxdydz=∫∫∫ y²/b² dxdydz=(4/15)abc
因此：取f(x,y,z)=z²/c² - y²/b²,可得∫∫∫ f(x,y,z) dxdydz=0
若有不懂请追问,如果解决问题请点下面的“选为满意答案”.
证明：假设f(x,y,z)≠0,则存在(x0,y0,z0)∈Ω,使得f(x0,y0,z0)≠0
不妨设f(x0,y0,z0)>0,由极限的局部保号性,存在(x0,y0,z0)的一个小邻域U,在此邻域内
有f(x,y,z)>0,设U的体积为V
由积分中值定理：则
∫∫∫(U) f(x,y,z) dxdydz
=f(x1,y1,z1)V 其中(x1,y1,z1)∈U
>0
则函数在U上的积分大于0,与“任意区域上的积分为0.”矛盾
2、结论错误：
反例：同济大学教材里有个例题
∫∫∫ z² dxdydz,积分区域就是你给的这个区域,结果为(4/15)abc³
因此：类似可计算出∫∫∫ y² dxdydz=(4/15)ab³c
因此：∫∫∫ z²/c² dxdydz=∫∫∫ y²/b² dxdydz=(4/15)abc
因此：取f(x,y,z)=z²/c² - y²/b²,可得∫∫∫ f(x,y,z) dxdydz=0
若有不懂请追问,如果解决问题请点下面的“选为满意答案”.