棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1和CC1的中点,求四棱锥A1-EBFD1
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/30 17:36:50
棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1和CC1的中点,求四棱锥A1-EBFD1
求四棱锥A1-EBFD1的体积
求四棱锥A1-EBFD1的体积
法一:∵EB=BF=FD1=D1E= a2+(a2)2= 52a,
∴四棱锥A1-EBFD1的底面是菱形.(2分)
连接A1C1、EF、BD1,则A1C1∥EF.
根据直线和平面平行的判定定理,A1C1平行于A1-EBFD1的底面,
从而A1C1到底面EBFD1的距离就是A1-EBFD1的高(4分)
设G、H分别是A1C1、EF的中点,连接D1G、GH,则FH⊥HG,FH⊥HD1
根据直线和平面垂直的判定定理,有FH⊥平面HGD1,
又,四棱锥A1-EBFD1的底面过FH,根据两平面垂直的判定定理,
有A1-EBFD1的底面⊥平面HGD1.作GK⊥HD1于K,
根据两平面垂直的性质定理,有GK垂直于A1-EBFD1的底面.(6分)
∵正方体的对角面AA1CC1垂直于底面A1B1C1D1,∴∠HGD1=90°.
在Rt△HGD1内,GD1= 22a,HG= 12a,HD1= BD12= 32a.
∴ 32a•GK= 12a• 22a,从而GK= 66a.(8分)
∴ VA1-EBFD1= 13S菱形EBFD1•GK= 13• 12•EF•BD1•GK
= 16• 2a• 3a• 66a= 16a3(10分)
解法二∵EB=BF=FD1=D1E= a2+(a2)2= 52a,
∴四菱锥A1-EBFD1的底面是菱形.(2分)
连接EF,则△EFB≌△EFD1.
∵三棱锥A1-EFB与三棱锥A1-EFD1等底同高,
∴ VA1-EFB=VA1-EFD1.
∴ VA1-EBFD1=2VA1-EFB.(4分)
又 VA1-EFB=VF-EBA1,
∴ VA1-EBFD1=2VF-EBA1,(6分)
∵CC1∥平面ABB1A1,
∴三棱锥F-EBA1的高就是CC1到
平面ABB1A1的距离,即棱长a.(8分)
又△EBA1边EA1上的高为a.
∴ VA1-EBFD1=2• 13• S△EBA1•a= 16a3.(10分)
∴四棱锥A1-EBFD1的底面是菱形.(2分)
连接A1C1、EF、BD1,则A1C1∥EF.
根据直线和平面平行的判定定理,A1C1平行于A1-EBFD1的底面,
从而A1C1到底面EBFD1的距离就是A1-EBFD1的高(4分)
设G、H分别是A1C1、EF的中点,连接D1G、GH,则FH⊥HG,FH⊥HD1
根据直线和平面垂直的判定定理,有FH⊥平面HGD1,
又,四棱锥A1-EBFD1的底面过FH,根据两平面垂直的判定定理,
有A1-EBFD1的底面⊥平面HGD1.作GK⊥HD1于K,
根据两平面垂直的性质定理,有GK垂直于A1-EBFD1的底面.(6分)
∵正方体的对角面AA1CC1垂直于底面A1B1C1D1,∴∠HGD1=90°.
在Rt△HGD1内,GD1= 22a,HG= 12a,HD1= BD12= 32a.
∴ 32a•GK= 12a• 22a,从而GK= 66a.(8分)
∴ VA1-EBFD1= 13S菱形EBFD1•GK= 13• 12•EF•BD1•GK
= 16• 2a• 3a• 66a= 16a3(10分)
解法二∵EB=BF=FD1=D1E= a2+(a2)2= 52a,
∴四菱锥A1-EBFD1的底面是菱形.(2分)
连接EF,则△EFB≌△EFD1.
∵三棱锥A1-EFB与三棱锥A1-EFD1等底同高,
∴ VA1-EFB=VA1-EFD1.
∴ VA1-EBFD1=2VA1-EFB.(4分)
又 VA1-EFB=VF-EBA1,
∴ VA1-EBFD1=2VF-EBA1,(6分)
∵CC1∥平面ABB1A1,
∴三棱锥F-EBA1的高就是CC1到
平面ABB1A1的距离,即棱长a.(8分)
又△EBA1边EA1上的高为a.
∴ VA1-EBFD1=2• 13• S△EBA1•a= 16a3.(10分)
棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1和CC1的中点,求四棱锥A1-EBFD1
已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a,E,F分别为AA1,CC1的中点 (1)求点A1到平面EBFD1的距离
如图所示,已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1的中点,求证:平面EBFD1垂直平面BB1D
在棱长为a正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,H分别是棱BB1,CC1,DD1的中点.求直线AF与平面A1EFD
在棱长为a正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,H分别是棱BB1,CC1,DD1的中点. 求直线AF与平面A1EF
(2014•南昌模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E、F分别是边AA1、CC1上的中点,点M是BB1
已知正方体ABCD-A1B1C1D1中E,F分别为AA1,CC1的中点如图所示,求证BF∥且=ED1
正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的
在正方体ABCD~A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在三条空间中与三条直线A1D1,EF,CD都
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交
正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,求证:与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线
三垂线定理正方体ABCD-A1B1C1D1中E,F分别为棱AA1,CC1的中点,求证:(1)EF⊥平面BDD1B1 (2