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设随机变量X~N(0,1),N(0,1)且X,Y相互独立 求 E[X^2/(X^2+Y^2)]

来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/01 04:37:34
设随机变量X~N(0,1),N(0,1)且X,Y相互独立 求 E[X^2/(X^2+Y^2)]
因为X,Y相互独立,所以E[X^2/(X^2+Y^2)]=E[Y^2/(X^2+Y^2)].
而E[X^2/(X^2+Y^2)]+E[Y^2/(X^2+Y^2)]=E[(X^2+Y^2)/(X^2+Y^2)]=1.
所以E[X^2/(X^2+Y^2)]=1/2.
为什么
E[(X^2+Y^2)/(X^2+Y^2)]=1.1是怎么得出的
瀑布汗.
(X^2+Y^2)/(X^2+Y^2)=1
E(1)=1
再问： 为什么E(1)=1 ？ 我知道 (X^2+Y^2)/(X^2+Y^2)=1得出e(1) 但为什么E(1)=1 ？
再答： 常数的期望等于自己， 这题，一般都是问为什么 E[X^2/(X^2+Y^2)]=E[Y^2/(X^2+Y^2)] 你问的真的很怪啊。
再问： 嗯 你能解释一下 E[X^2/(X^2+Y^2)]=E[Y^2/(X^2+Y^2)]吗 上次看到有人解释这个 不是很懂. 谢谢老哈
再答： 注意到X,Y相互独立同分布。故其联合分布密度对称(对称也称自变量可交换：f(x,y)=f(y,x)，根据其独立性f(x,y)=g(x)g(y)=f(y,x)） 所以 如果联合分布密度对称（不一定要独立同分布），则对于随机变量函数来说h(X,Y)于h(Y,X)的分布相同（具体证明你可以用二重积分的换元） 既然其分布相同，故其期望当然一样。 当然，这个问题最直接的证明方法就是定义法。利用定义带入求解两个期望是相同的（不需积出来，只要换元就可发现其期望相同）
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