设A,B均为N阶矩阵,且AB=BA,证明:如果A,B都相似于对角阵,则存在可逆矩阵P使P^-1AP与P^-1BP均为对角
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/04/26 19:14:08
设A,B均为N阶矩阵,且AB=BA,证明:如果A,B都相似于对角阵,则存在可逆矩阵P使P^-1AP与P^-1BP均为对角阵
S^-1AS=C=diag(a1*I1,a2*I2,...,ar*Ir)
分为r块,每块特征值相同,Ii都是单位阵
SCS^-1B=AB=BA=BSCS^-1,左乘S^-1,右乘S,得
CS^-1BS=S^-1BSC,记G=S^-1BS,那么CG=GC
因为C是对角阵,而G与C可交换,易知
G=diag(G1,G2,...,Gr)是块对角阵,Gi与Ii同阶
再将Gi进行对角化,即存在可逆阵Ti,
使得Ti^-1*Gi*Ti=Di是对角阵
记T=diag(T1,T2,...,Tr)是块对角可逆阵
于是T^-1GT=diag(D1,D2,...,Dr)=D是对角阵
即T^-1S^-1BST=D
而T^-1S^-1AST=T^-1CT
因为C是对角阵,T是与C形状相同的块对角阵,因此CT=TC
于是T^-1S^-1AST=T^-1CT=T^-1TC=C
记P=ST是可逆阵
便有P^-1AP=C,P^-1BP=D 同时化为了对角阵
分为r块,每块特征值相同,Ii都是单位阵
SCS^-1B=AB=BA=BSCS^-1,左乘S^-1,右乘S,得
CS^-1BS=S^-1BSC,记G=S^-1BS,那么CG=GC
因为C是对角阵,而G与C可交换,易知
G=diag(G1,G2,...,Gr)是块对角阵,Gi与Ii同阶
再将Gi进行对角化,即存在可逆阵Ti,
使得Ti^-1*Gi*Ti=Di是对角阵
记T=diag(T1,T2,...,Tr)是块对角可逆阵
于是T^-1GT=diag(D1,D2,...,Dr)=D是对角阵
即T^-1S^-1BST=D
而T^-1S^-1AST=T^-1CT
因为C是对角阵,T是与C形状相同的块对角阵,因此CT=TC
于是T^-1S^-1AST=T^-1CT=T^-1TC=C
记P=ST是可逆阵
便有P^-1AP=C,P^-1BP=D 同时化为了对角阵
设A,B均为N阶矩阵,且AB=BA,证明:如果A,B都相似于对角阵,则存在可逆矩阵P使P^-1AP与P^-1BP均为对角
若A,B均为n阶矩阵,且AB=BA,证明:如果A,B都相似于对角矩阵,则存在可逆矩阵C使C^1AC与C^1BC均为对角矩
AB均为实对称矩阵,且AB=BA,如果A有n个互异的特征值,证明,存在正交矩阵P使P'AP与P'BP均为对角阵
设n阶矩阵A对称正定,n阶矩阵B为对称矩阵,证明存在合同变换矩阵P,使得P'AP与P'BP均为对角矩阵
设AB均为n阶实对称矩阵,证明存在n阶可逆矩阵P,使得P'AP与P'BP均为对角矩阵(p’为转置矩阵)
AB均为n阶实对称阵,A正定,证明存在n阶实可逆阵P使P’AP和P‘BP均为对角阵(P‘为转置矩阵)
设A,B均为n阶矩阵,且AB=BA,证明: 1)如果A有n个不同的特征值,则B相似于对角矩阵;
AB均为n阶正定矩阵,满足AB=BA,求证:存在一个n阶正定矩阵P,使P’AP和P’BP均为对角阵(P’为转置矩阵)
设A,B都是n阶实对称矩阵,那么存在正交矩阵P使得 P'AP和P'BP都是对角矩阵的充分必要条件是AB=BA
求合同矩阵转换中的P已知A为实对称矩阵,B为对角矩阵,A与B合同但不相似,求可逆矩阵P,使P'AP=B.(P'为P的转置
设A,B为n阶实对称方阵,且A正定,则存在实可逆矩阵P,使 P' AP=E,同时P' BP=diag(λ1,…,λn).
设矩阵A= 求一个可逆矩阵P,使P-1 AP为对角阵,并给出该对角阵