若A,B均为n阶矩阵,且AB=BA,证明:如果A,B都相似于对角矩阵,则存在可逆矩阵C使C^1AC与C^1BC均为对角矩
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/02 02:05:45
若A,B均为n阶矩阵,且AB=BA,证明:如果A,B都相似于对角矩阵,则存在可逆矩阵C使C^1AC与C^1BC均为对角矩阵
A,B满足上述条件称为同时对交化.
当且仅当A,B可交换,A,B可同时对角化.
具体的证明,如果C^(-1)AC与C^(-1)BC均为对角矩阵,则C^(-1)ACC^(-1)BC=C^(-1)BCC^(-1)AC
故A,B可交换.
如果A,B可交换,设C可以将A对角话,且对角化后相同的特征值在一起,那么C1^(-1)AC1是一个对角矩阵,C1^(-1)BC1是一个矩阵.
显然这两个是可交换,故无妨设P=C1^(-1)AC,Q=C1^(-1)BC1,那么考虑PQ=QP的特点,不难发现,在P的分块下(相同的值作为一个分块,构成一个对角分块),Q也构成一个分块形状一致的对角分块,那么将Q对角话(C2^(-1)QC2是对角的)的话不影响P是一个对角矩阵.那么记C=C2C1他可以同时将A,B对角化.
当且仅当A,B可交换,A,B可同时对角化.
具体的证明,如果C^(-1)AC与C^(-1)BC均为对角矩阵,则C^(-1)ACC^(-1)BC=C^(-1)BCC^(-1)AC
故A,B可交换.
如果A,B可交换,设C可以将A对角话,且对角化后相同的特征值在一起,那么C1^(-1)AC1是一个对角矩阵,C1^(-1)BC1是一个矩阵.
显然这两个是可交换,故无妨设P=C1^(-1)AC,Q=C1^(-1)BC1,那么考虑PQ=QP的特点,不难发现,在P的分块下(相同的值作为一个分块,构成一个对角分块),Q也构成一个分块形状一致的对角分块,那么将Q对角话(C2^(-1)QC2是对角的)的话不影响P是一个对角矩阵.那么记C=C2C1他可以同时将A,B对角化.
若A,B均为n阶矩阵,且AB=BA,证明:如果A,B都相似于对角矩阵,则存在可逆矩阵C使C^1AC与C^1BC均为对角矩
设A,B均为N阶矩阵,且AB=BA,证明:如果A,B都相似于对角阵,则存在可逆矩阵P使P^-1AP与P^-1BP均为对角
A,B为n阶实对称矩阵,且B是正定矩阵,证明:存在实可逆矩阵C使得C'AC和C'BC都是实对角矩阵.C'表示C的转置
设A,B均为n阶矩阵,且AB=BA,证明: 1)如果A有n个不同的特征值,则B相似于对角矩阵;
ABC均为n阶矩阵,AB=0,AC+C=0,r(C)+r(B)=n,证明A相似于对角阵
A,B均为Hermite矩阵,且A正定,试证AB相似于实对角矩阵.
设a为n阶矩阵,证明存在一可逆矩阵b及一幂等矩阵c(c=c^2),使a=bc
A、B、C为N阶矩阵,若AB=BA,AC=CA.证明:A(BC)=(BC)A.
设A,B均为n阶矩阵.证明:分块矩阵AB BA是可逆矩阵当且仅当A+B A-B均为可逆矩阵
设A为n阶正定矩阵,矩阵B与A相似,则B必为 A,实对称矩阵 B正定矩阵 C可逆矩阵
设A使一m×n矩阵,B ,C 分别为m阶,n阶可逆矩阵,证明:r(BA)=r(A)=r(AC)
AB均为实对称矩阵,且AB=BA,如果A有n个互异的特征值,证明,存在正交矩阵P使P'AP与P'BP均为对角阵