证A与A^T有相同的特征值

A^-1表示A的逆,^表示后面的是指数.由A^-1ABA=BA可知AB与BA相似,故AB与BA有相同的特征值.

A^T指A的转置,要求一个矩阵的特征值,先求特征多项式,即|λE-A|=0A的转置的特征多项式|λE-A^T|=0,因(λE-A)^T=(λE)^T-A^T=λE-A^T所以|λE-A|=|(λE-A

因为A可逆所以A^-1(AB)A=BA所以AB与BA相似所以AB与BA有相同的特征值.

此题用到结论:r(A)=r(A'A)=r(AA')那么我们只需证明A'A与AA'有相同的非零特征值就行了.设b(lamda)是A'A的非零特征值,x是A'A的属于特征值b的特征向量,则有A'Ax=bx

没考虑过AA^T的特征值与特征向量,只能推想A与A^T的特征值尽管相同,但由于他们的特征向量不一定相同,所以AA^T的特征值与A和特征值不一定相同.由于|AA^T|=|A|^2,所以若A不可逆,则他们

设矩阵A经过初等行变换之后,化为上三角矩阵B,则A等价于B矩阵A'经过初等列变换之后,可化为下三角矩阵C,则A'等价于C显然,B的转置矩阵B'=C因为,转置之后对角线上的元素不变,所以,B和C的对角线

LS的..由于A不一定可逆,所以AB～A^{-1}(AB)A=BA的解答有缺陷详细解答请见下图注意关于特征值是否为零的分类讨论是必要的

1.因为B^-1A=B^-1(AB^-1)B所以B^-1A与AB^-1相似所以它们有相同的特征值.2.设a为A的特征值则a^2-1是A^2-E的特征值因为A^2-E=0,零矩阵的特征值只能是0所以a^

因为Aα=λα所以(P^-1AP)(P^-1α)=λP^-1α所以所求特征向量为P^-1α再问：（P^-1AP）^T是转置呀！再答：不应该有转置吧A^T的特征向量都是不确定的

记d为A的特征值,s为AA^t的特征值,那么必然有：min(s)

绝大多数情况下都不同如令A是对角元素分别为1,2的2*2对角矩阵B是对角元素分别为2,3的2*2对角矩阵(1,0),(0,1)都是他们的特征向量主要原因是特征值不必相同

A与B相似并不相同,理由如下：1.A与B矩阵都有n个互不相同的特征值,说明了A和B都是非退化(nondefective)矩阵,即存在非奇异矩阵Q1和Q2使得：Q1^-1*A*Q1=D1、Q2*B*Q2

（λE-A）′＝λE-A′,|（λE-A）′|＝|λE-A|∴|λE-A|＝|λE-A′|,A与A′特征多项式相同,所以特征值也一样.

A与B相似所以存在一个矩阵P使得A=PBP^(-1)设α是A的属于λ的一个特征向量所以Aα=λα将A=PBP^(-1)带入PBP^(-1)α=λα得BP^(-1)α=λP^(-1)α所以x是B的属于λ

因为特征值是特征方程|λI-A|=0的根,所以要证明特征值相同只要特征方程相同即可令矩阵B=λI-A,根据行列式知识detB=detB'即|λI-A|=|（λI-A）'|=|λI-A'|,因此A和A'

利用|xE-A^T|=|(xE-A)^T|=|xE-A|==>方阵A与方阵AT有相同的特征多项式,从而有相同的特征值.

因为A的n个特征值互异所以A可对角化,且A相似于对角矩阵diag(a1,...,an)又因为n阶方阵B与A有相同的特征值所以B也可对角化,且B相似于对角矩阵diag(a1,...,an)由相似的传递性

相似矩阵有相同的特征值,这是定理反之,因为A,B是实对称矩阵,所以A可对角化,即A,B相似于由特征值构成的同一个对角矩阵,所以A,B相似.

选A因为|xE-AT|=|(xE-A)T|=|xE-A|

当A可逆时,若λ是A的特征值,α是A的属于特征值λ的特征向量,则|A|/λ是A*的特征值,α仍是A*的属于特征值|A|/λ的特征向量