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已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的右焦点为F(1,0),M 为椭圆上的顶点,O为坐标原点,且三角形OMF是等腰

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/16 03:03:10
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的右焦点为F(1,0),M 为椭圆上的顶点,O为坐标原点,且三角形OMF是等腰三角形,问是否存在直线l交椭圆于P、Q两点、且使点F为三角形PQM的垂心并求出直线方程
三角形OMF是等腰直角三角形
∵三角形OMF是等腰直角三角形,∴OM=OF=1,b=1,a²-1=1,a²=2,椭圆为:x²/2+y²=1,使点F为三角形PQM的垂心,MF⊥PQ,MF的斜率=-1,则直线l的斜率=1,设直线方程为:y=x+b,与x²/2+y²=1联立,x=[-2b±√(6-2b²)]/3,P、Q两点{[-2b+√(6-2b²)]/3,b+√(6-2b²)]/3}、{[-2b-√(6-2b²)]/3,b-√(6-2b²)]/3},点F为三角形PQM的垂心,PF⊥MQ,PF斜率={[b+√(6-2b²)]/3}/{[-2b+√(6-2b²)]/3-1},MQ斜率={[b-√(6-2b²)]/3-1}/{[-2b-√(6-2b²)]/3},{[b+√(6-2b²)]/3}*{[b-√(6-2b²)]/3-1}/{[-2b+√(6-2b²)]/3-1}*{[-2b-√(6-2b²)]/3}=-1,解得:b=-4/3或b=1,∵b=1时直线过M点,∴舍去b=1,直线方程为:y=x-4/3.