已知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在X轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A,B两点,向量OA+OB与向量a=(

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/02 04:36:02

已知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在X轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A,B两点,向量OA+OB与向量a=(3,-1)共线.
(1)求椭圆离心率e
(2)设M为椭圆上任意一点,且向量OM＝λOA+μOB,（λ,μ∈R,注意OA,OB均为向量）,证明：λ^2+μ^2为定值.

1）
设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,
直线AB：y=x-c,
联立消去y可得：
(a^2+b^2)x^2-2a^2cx+a^2c^2-a^2b^2=0,
令A=(x1,y1),B=(x2,y2),
则x1+x2=(2a^2*c)/(a^2+b^2) ,x1*x2=(a^2*c^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2),
向量OA+ OB=(x1+x2,y1+y2), 与向量a=(3,-1)共线,
所以3（y1+y2）+（x1+x2）=0,
即3（x1-c+x2-c）+（x1+x2）=0,
4（x1+x2）-6c=0,
化简得：a^2=3b^2.
椭圆过点（√3,-1）,所以3/a^2+1/b^2=1,
联立解得：a^2=6,b^2=2.
椭圆方程为x^2/6+y^2/2=1.
2）
椭圆x^2/6+y^2/2=1
即：x^2+3y^2=6 ,①
设向量OM=(x,y),OA=(x1,y1),OB=(x2,y2)
(x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2)
即：x=λx1+μx2
y=λy1+μy2
M在椭圆上,把坐标代入椭圆方程①
（λx1+μx2）^2+3(λy1+μy2)^2=6 ,
λ^2(x1^2+3y1^2)+μ^2(x2^2+3y2^2) +2λμ(x1*x2+3y1*y2)=6 ,②
直线过右焦点,直线方程即： y=x-c ,
把直线代入椭圆,直线交椭圆于AB,求交点：
(a^2+b^2)x^2-2a^2cx+a^2*c^2-a^2*b^2=0
因为前面已证a^2=3b^2,所以c^2=a^2-b^2=2b^2,
由韦达定理：
x1+x2=(2a^2*c)/(a^2+b^2)=3/2*c,
x1*x2=(a^2*c^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2)=3/8*c^2
∴x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c)
=4x1*x2-3(x1+x2)c+3c^2
=3/2c^2-9/2c^2+3c^2=0
而A,B在椭圆上：
x1^2+3y1^2=6 ,x2^2+3y2^2=6 全部代入②知：
λ^2+μ^2=1 为定值.

已知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在X轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A,B两点,向量OA+OB与向量a=( 已知椭圆中心为坐标原点O,焦点在x轴上,斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A,B两点.向量OA+向量OB与向量a(3, 椭圆和向量中的定值已知椭圆的中心为坐标原点O.焦点在x轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A.B两点,OA向量+ 已知椭圆中心为坐标原点焦点在x轴上,斜率为1且过右焦点F的直线交椭圆于AB两点,向量OA+向量OB与向量a=（3,-1）椭圆坐标原点O焦点在x轴,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A B两点,向量OA+OB与a=（3,-1）共线 1.已知椭圆的中心为坐标原点0,焦点在X轴上,斜率为t且过椭圆右焦点P2的直线交椭圆于A,B两点.向量OA＋向量OB于向已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,过他的右焦点作斜率为1的直线l交椭圆于A、B两点,若椭圆上存在一点C,使OA向量加O 已知椭圆的中心在原点O,焦点在x轴上,过其右焦点F做斜率为1的直线l,交椭圆于A、B两点,若椭圆上存在一点已知椭圆C的中心为原点O,F(1,0)是它的一个焦点,直线l经过点F与椭圆C交与A,B两点,l垂直于X轴,且OA*OB= 已知椭圆的中心在原点O,焦点在X轴上,过其右交点F作斜率为1的直线L,交椭圆于A、B两点,若椭圆上存在一点过椭圆C:x^2/6+y^2/2=1的右焦点F作斜率为k(k>0)的直线L与椭圆交于A.B两点.且坐标原点O到直线L的距过椭圆 C： x 2 6 + y 2 2 =1 的右焦点F作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆交于A、B两点，且坐标原点O