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设集合G中的元素是所有形如a+b根号二(a∈Z,b∈Z)的数,求证:

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/29 12:08:00
设集合G中的元素是所有形如a+b根号二(a∈Z,b∈Z)的数,求证:
(1)当x∈N时,x∈G.
(2)若x∈G,y∈G,则x+y∈G,而1/x不一定属于集合G.
(1)
x=x+0*√2
因为0和x均∈Z
所以x∈G
(2)
设x=a1+b1√2
y=a2+b2√2(4个参数均属于Z)
x+y = (a1+a2)+(b1+b2)√2
a1+a2∈Z b1+b2∈Z
所以x+y∈Z
1/x = 1/(a1+b1√2)
=(a1-b1√2)/(a1^2-2b1^2)
=a1/(a1^2-2b1^2) - b1/(a1^2-2b1^2)*√2
显然
a1/(a1^2-2b1^2)和b1/(a1^2-2b1^2)不一定是整数
所以1/x不一定属于G