求由Y=X^2,Y=X所围成的平面图形的面积和绕X轴旋转所得旋转体的体积

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 20:32:19

求由Y=X^2,Y=X所围成的平面图形的面积和绕X轴旋转所得旋转体的体积
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解先作图（此处略）,得知该图形在 x 轴上的投影是区间 [0,1].
(1) 图形在 x∈[0,1]处的面积微元
dA(x) = (x-x^2)dx,
故所求面积为
A = ∫[0,1]dA(x) = ∫[0,1](x-x^2)dx = 1/6.
(2) 图形在 x∈[0,1]处的旋转体的体积微元
dV(x) =π (x^2-x^4)dx,
故所求体积为
V = ∫[0,1]dA(x) = π∫[0,1](x^2-x^4)dx = π/12.
再问：体积公式Vx=π∫[a,b][f(x)]^2dx 算体积那里的dV(x) =π∫ [(x-x^2)]^2dx 这个式子不是应该化成 dV(x) =π (x^2-2x^3+x^4)dx 吗？
再答：体积计算应该是 V = 直线旋转所得旋转体的体积 - 抛物线旋转所得旋转体的体积 = π∫[0,1]x^2dx - π∫[0,1]x^4dx = π∫[0,1](x^2-x^4)dx

求由Y=X^2,Y=X所围成的平面图形的面积和绕X轴旋转所得旋转体的体积由抛物线x=y和x=2-y围成的一平面图形,求该平面图形的面积；求由该平面图形绕y轴旋转所得旋转体的体积设平面图形由y=1/2x平方与直线y=2所围成,求平面图形面积和绕X轴旋转一周所得到的旋转体的体积. 求出曲线y=x²与y=2x所围成的平面图形面积和绕x轴旋转所得的旋转体的体积求由曲线y=x的平方2,x=y的平方2所围成的平面图形的面积S,以及该平面图形绕x轴旋转转一周所得旋转体体积V 高数旋转体体积、求由y=x/1 y=x ,及x轴所围的平面图形的面积,及该平面图形绕轴旋转一周所得旋转体体积求由抛物线y=1+x^2,x=0,x=1及y=0所围成的平面图形的面积,并求该图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积. 求曲线 y=x^2 和x=y^2 所围成的平面图形,绕X轴旋转一周所得到的旋转体体积求由直线y=0,x=0,x=1和曲线y=x^3+1所围成的平面图形的面积及该图形x轴旋转一周所得旋转体的体积. 求y=lnx,y=1及x=e^2所围平面图形分别绕x轴和y轴旋转所得旋转体的体积求由曲线y=2-X^2 ,y=2X-1及X≥0围成的平面图形的面积S以及平面图形绕X轴旋转一周所得旋转体的体积Vx 设由曲线y=1-x^2,y=ax^2(a>0)所围成的平面图形绕y轴旋转所得旋转体的体积等于由曲线y=1-x^2和x轴所