设由曲线y=1-x^2,y=ax^2(a>0)所围成的平面图形绕y轴旋转所得旋转体的体积等于由曲线y=1-x^2和x轴所

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 17:42:25

设由曲线y=1-x^2,y=ax^2(a>0)所围成的平面图形绕y轴旋转所得旋转体的体积等于由曲线y=1-x^2和x轴所围成的

由已知得：y=1-x^2与y=ax^2的交点d的横坐标为：x1=1/根号(a+1),x2=-1/根号(a+1)
由曲线y=1-x^2,y=ax^2(a>0)所围成的平面图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为：
V1=2π∫(上限为x1,下限为0)x[(1-x^2)-ax^2)]dx-2π∫(上限为0,下限为x2)x[(1-x^2)-ax^2)]dx
=4π[x^2/2-(a+1)x^4/4](上限为x1,下限为0)=π/(a+1)
由曲线y=1-x^2和x轴所围成的平面图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为：
V2=2π∫(上限为1,下限为0)x(1-x^2)dx-2π∫(上限为0,下限为-1)x(1-x^2)dx
=4π(x^2/2-x^4/4)(上限为1,下限为0)=π
又由已知知：2V1=V2,所以2π/(a+1)=π
解得a=1
注：设f(x)≥0是连续函数,由0≤a≤x≤b,0≤y≤f(x)所表示的区域绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积公式为：V=2π∫(上限为b,下限为a)xf(x)dx,.（这个公式你可以记下来）