已知集合A={x|x2+ax+a+1=0}．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 19:17:17

已知集合A={x|x²+ax+a+1=0}．
（1）若x∈A，则x²∈A，求a的值；
（2）是否存在实数a，使得若x∈A，y∈A，则xy∈A，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

（1）设方程x²+ax+a+1=0的解集为集合A，
则集合A至多两个元素，
由于若x∈A，则x²∈A，因此 A 的元素只可能是-1、0、1，并且-1∈A 时 1∈A，
①若 A={0}，则 x²+ax+a+1=x²，此不可能；
②若 A={1}，则 x²+ax+a+1=（x-1）²，此不可能；
③若 A={0，1}，则x²+ax+a+1=x（x-1），解得 a=-1；
④若 A={-1，1}，则 x²+ax+a+1=（x-1）（x+1），此不可能，
综上可得 a=-1．
（2）如果 x=y，那么 xy=x²；
如果 x≠y，由于 A 至多只有两个元素，因此 xy=x 或 xy=y，
所以 A={0，1}满足条件，此时 a=-1．

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